Inhoud

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Ga naar: navigatie, zoeken
Bepaling van de inhoud van een onregelmatig voorwerp door waterverplaatsing.
Bepaling van de inhoud van een onregelmatig voorwerp door waterverplaatsing.

De inhoud of het volume van een voorwerp (lichaam, ruimtelijke figuur) is de grootte van het gebied in de ruimte (drie- (of hoger-) dimensionaal) dat door het voorwerp wordt ingenomen. Als basis in drie dimensies geldt dat de inhoud van een rechthoekig blok gelijk is aan lengte × breedte × hoogte. De inhoud van een voorwerp is nu bepaald door het aantal eenheden met lengte, breedte en hoogte elk 1 cm, dus inhoud 1 cm3, die in het voorwerp passen.

Men bepaalt het volume van een voorwerp V door de ruimte op te delen in volumes ΔV van 1 eenheid, en de eenheden die in V liggen op te tellen. Omdat niet elke eenheid precies wel of niet in V ligt geeft dit een benadering:

I(V)\approx\sum_V \Delta V.

Door de eenheden steeds kleiner te nemen wordt deze benadering nauwkeuriger. Dit limietproces leidt tot een ruimtelijke integraal die in de onderstaande formule is gegeven.


De SI-eenheid van inhoud is de kubieke meter, m3.

[bewerk] Formule

De inhoud van een willekeurig object kan berekend worden uit \int\int\int_V dv, waarbij de integraal loopt over het ruimelijk gebied V dat door het object wordt ingenomen.

[bewerk] Voorbeeld

Het volume I van de cilinder met hoogte h en straal r van het grondvlak, met de z-as als cilinderas en staande op het xy-vlak, berekenen we als:

I=\int_{x=-r}^r \int_{y=-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\int_{z=0}^h dzdydx = 2h\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}dx=\pi r^2h

[bewerk] Generalisatie

De maattheorie levert een algemene definitie voor het begrip inhoud aan de hand van een maat, meer bepaald de Lebesgue-maat op \mathbb{R}^3.


De inhoud van enkele standaardobjecten:


Wikibooks Wikibooks heeft een cursus over dit onderwerp: Volume
 
Persoonlijke instellingen