Inhoud

Bepaling van de inhoud van een onregelmatig voorwerp door waterverplaatsing.

De inhoud of het volume van een voorwerp (lichaam, ruimtelijke figuur) is de grootte van het gebied in de ruimte (drie- (of hoger-) dimensionaal) dat door het voorwerp wordt ingenomen. Als basis in drie dimensies geldt dat de inhoud van een rechthoekig blok gelijk is aan lengte × breedte × hoogte. De inhoud van een voorwerp is nu bepaald door het aantal eenheden met lengte, breedte en hoogte elk 1 cm, dus inhoud 1 cm³, die in het voorwerp passen.

Men bepaalt het volume van een voorwerp V door de ruimte op te delen in volumes ΔV van 1 eenheid, en de eenheden die in V liggen op te tellen. Omdat niet elke eenheid precies wel of niet in V ligt geeft dit een benadering:

$I(V)\approx\sum_V \Delta V$.

Door de eenheden steeds kleiner te nemen wordt deze benadering nauwkeuriger. Dit limietproces leidt tot een ruimtelijke integraal die in de onderstaande formule is gegeven.

De SI-eenheid van inhoud is de kubieke meter, m³.

Formule

De inhoud van een willekeurig object kan berekend worden uit $\int\int\int_V dv$, waarbij de integraal loopt over het ruimelijk gebied V dat door het object wordt ingenomen.

Voorbeeld

Het volume I van de cilinder met hoogte h en straal r van het grondvlak, met de z-as als cilinderas en staande op het xy-vlak, berekenen we als:

$I=\int_{x=-r}^r \int_{y=-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\int_{z=0}^h dzdydx = 2h\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}dx=\pi r^2h$

Generalisatie

De maattheorie levert een algemene definitie voor het begrip inhoud aan de hand van een maat, meer bepaald de Lebesgue-maat op $\mathbb{R}^3$.

De inhoud van enkele standaardobjecten:

• Kubus met ribbe r : r³
• Balk met lengte L, en breedte B, hoogte H : L×B×H
• Cilinder met straal r en lengte L : πLr²
• Kegel met hoogte h en straal r (van het cirkelvormige grondvlak): πhr²/3
• Piramide met oppervlakte van het grondvlak G en hoogte h : G×h/3
• Bol met straal r : 4πr³/3
• Ellipsoïde met 'stralen' r₁, r₂ en r₃ : 4πr₁r₂r₃/3

Verschil volume en inhoud

In fysica wordt soms het onderscheid gemaakt tussen volume en inhoud. Inhoud is wat er ‘in’ een bepaald lichaam kan gestoken worden. Volume is wat het lichaam in totaal aan ruimte inneemt. De inhoud van een lichaam is de vloeistof die je in het binnenste kan krijgen. Het volume is wat het lichaam in zijn totaliteit inneemt en is groter dan de inhoud. Inhoud en volume worden in de wiskunde als eenzelfde begrip beschouwd, omdat de afmetingen van de wanden oneindig klein zijn. In de praktijk nemen de wanden een voorwerp altijd een bepaald volume in, waardoor zijn inhoud steeds kleiner zal zijn dan het totaal volume.

Zie ook

• Binnenwerkse maat
• Buitenwerkse maat

Wikibooks

Wikibooks heeft een studieboek over dit onderwerp: Cursus wiskunde: Volume.