Stelling van Little

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stelling van Little is een stelling uit de wachtrijtheorie, die luidt:

Het verwachte aantal klanten in een stationair wachtrijsysteem is gelijk aan het product van hun verwachte aankomstsnelheid en hun verwachte verblijftijd in het systeem.

In symbolische notatie wordt dit:

 N = \lambda \cdot T

waarbij de grootheid N het aantal klanten in het systeem is, λ het verwachte aantal klanten die per tijdseenheid het systeem binnenkomen en T de tijd die een klant in het systeem doorbrengt.

In plaats van verwachte spreekt men in de wachttijdtheorie vaak over gemiddelde, daarmee het gemiddelde op de lange duur bedoelend.

De stelling werd in 1961 door John Little bewezen.

Deze wetmatigheid lijkt intuïtief vanzelfsprekend, maar opmerkelijk is dat het resultaat onafhankelijk is van de distributies van de tussenaankomsttijden of de bedieningstijden, onafhankelijk van het aantal bedieningsstations dat in het systeem aanwezig is, onafhankelijk van de gebruikte wachtlijnstrategie, onafhankelijk van statistische afhankelijkheden binnen het systeem. Meer nog, er wordt zelfs niet nader gespecificeerd wat juist het systeem is en wat de klanten komen doen; een systeem is enkel een plaats waar klanten aankomen, enige tijd verblijven en dan vertrekken. Het systeem moet enkel zo zijn dat de betrokken processen voldoende stationair zijn dat aan de grootheden een zinvolle betekenis kan worden gegeven. Beschouwt men bijvoorbeeld een bank, dan kan een wachtende rij mensen een systeem zijn, elk van de loketten een ander systeem, of alles samen kan men als één systeem beschouwen; telkens geldt de stelling van Little zolang het systeem stabiel is.

Wiskundig gezien kan men de stelling bijvoorbeeld toepassen op de wachtrij zelf in plaats van het volledige wachtrijsysteem, men krijgt dan:

\bar{N}_{q} = \lambda \cdot W

als gemiddeld aantal klanten in de wachtrij, waarbij W de gemiddelde wachttijd van de klanten is.

Past men de stelling toe op het verwerkingsgedeelte van het wachtrijsysteem, dan krijgt men:

\bar{N}_{S} = \lambda \cdot \bar{x} = \frac{\lambda}{\mu}

met μ de verwerkingsintensiteit.