Britt Udink speelde in haar jeugdjaren voor VV Roden. Vervolgens kwam ze twee jaar uit in de jeugdopleiding van sc Heerenveen. Op 21 juni 2024 tekende Udink een contract bij Excelsior Rotterdam.[1] Op 27 augustus 2021 maakte ze haar debuut in de Vrouwen Eredivisie voor Excelsior in de openingswedstrijd van het seizoen 2021/22 tegen Ajax. In een thuiswedstrijd tegen VV Alkmaar op 5 februari 2022 maakte Udink haar eerste doelpunt in de Vrouwen Eredivisie.[2]
Na twee seizoenen in Rotterdam maakte ze de overstap naar PEC Zwolle.[3] In een uitwedstrijd tegen Fortuna Sittard op 8 september 2023 maakte Udink haar debuut voor de Zwollenaren door in de 72ste minuut in te vallen voor Evi Maatman.[4]
Udink keerde na een seizoen in Zwolle terug bij sc Heerenveen waarvoor ze al eerder uitkwam in de jeugdopleiding. Udink tekende een verbintenis tot medio 2025 in Friesland.[5]