Gebruiker:Madyno/Kladblok/Orthogonale polynomen

Orthogonale polynomen

Orthogonaal stelsel polynomen als basis van een ruimte van functies.

Een functie $f$ op [0,1] kan benaderd worden door een polynoom $P$ van graad $n$, zodanig dat in punten $x_{i}$ geldt

$P(x_{i})=f(x_{i})$

1. via orthonormaal stelsel $\{P_{k}\}$ op interval

2. als gewogen som van lagrangepolynomen orthonormaal op de punten $x_{i}$

???? ad 1. $\int P(x)\,\mathrm {d} x=w_{1}f(x_{1})+\ldots +w_{n}f(x_{n})$ met

$w_{1}+\ldots +w_{n}=2$

$w_{1}x_{1}^{k}+\ldots +w_{n}x_{n}^{k}=0$

we hoeven P niet expliciet te kennen

ad 2. P(x)= f(x1)L1+ ... + f(xn)Ln zelfde als onder 1 (moet wel)

momenten

$M={\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\ldots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\ldots &m_{n+1}\\&&\vdots &&\\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\ldots &m_{2n-1}\\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\ldots &m_{2n}\end{bmatrix}}=M^{*}$

Zij

$P_{n}(x)=(A,X)$

met

$X=(1,x,x^{2},\ldots ,x^{n})$

$A=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=$

stel

$e_{n}=(0,0,0,\ldots ,0,1)$

vanwege orthogonaliteit

$MA=c\,e_{n}$

want

$n>0,k<n$

$0=\int P_{n}(x)x^{k}dx=\sum a_{i}m_{i+k}$

$c=\int P_{n}(x)x^{n}dx=\sum a_{i}m_{i+n}$

dus

$A=cM^{-1}e_{n}=c\,{\text{laatste kolom van }}M^{-1}$

Noem

$M_{X}={\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\ldots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\ldots &m_{n+1}\\&&\vdots &&\\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\ldots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{bmatrix}}$

$P_{n}(x)=[M_{X}A]_{n}=c\,[M_{X}M^{-1}e_{n}]_{n}$

$Y=M^{-1}X\Rightarrow MY=X$

$P_{n}(x)=(A,X)=(MA,M^{*-1}X)=(MA,M^{-1}X)=c(e_{n},M^{-1}X)=c\,Y_{n}$

met

$Y=M^{-1}X\Rightarrow MY=X$

$Y_{n}=\det(M_{X})/\det(M)$

Gauss kwadratuur

???? Het stelsel polynomen is volledig, dus kan elke ... functie willekeurig dicht benaderd worden door een eindig aantal; daarom dus ook een willekeurige benadering van de integraal

orthogonale polynomen

inproduct

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,{\rm {d}}x$

orthonormaal system

$\langle P_{k},P_{m}\rangle =\delta _{km}$

ontwikkeling

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}P_{k}(x)$

ook geschreven als

$f\sim \sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}P_{k}$

stel

$g\sim \sum _{k=0}^{\infty }\beta _{k}P_{k}$

Parseval:

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}P_{k}(x)\sum _{j=0}^{\infty }\beta _{j}P_{j}(x)\,{\rm {d}}x=$

$=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }\alpha _{k}\beta _{j}\int _{a}^{b}P_{k}(x)P_{j}(x)\,{\rm {d}}x=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }\alpha _{k}\beta _{j}\delta _{kj}=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}\beta _{k}$

Vat men de relatie

$f\mapsto \alpha =(\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots \alpha _{n},\ldots )$

op als coordinatisereing $\kappa$, dan betekent Parseval

$\langle f,g\rangle =\langle \alpha ,\beta \rangle =\langle \kappa (f),\kappa (g)\rangle$