Kliment is afkomstig uit de jeugdopleiding van Vysočina Jihlava. Op 9 maart 2012 debuteerde hij voor de club in de Tsjechische tweede klasse tegen FK Čáslav.[3] Enkele maanden later promoveerde de club naar het hoogste niveau. Op 22 februari 2013 maakte de Tsjechisch jeugdinternational zijn opwachting in de Gambrinus liga tegen Hradec Králové.[4] Op 19 april 2014 maakte hij zijn eerste competitietreffer tegen FK Teplice.[5] In januari 2014 werd de vleugelspeler zes maanden uitgeleend aan het Slowaakse Banská Bystrica. Het seizoen erop maakte hij twee doelpunten in vijftien competitieduels voor Vysočina Jihlava. In juni 2015 tekende Kliment een vierjarig contract bij VfB Stuttgart, dat één miljoen euro betaalde voor de vleugelspeler.[1]
Tsjechië
VfB Stuttgart
· 
· 
·
17 Diehl ·
18 Leweling ·
19 Faghir ·
20 Stergiou ·
21 Drljača ·
22 Kastanaras ·
23 Zagadou ·
24 Chabot ·
26 Undav ·
27 Führich ·
28 Nartey ·
29 Rouault ·
32 Rieder ·
33 Nübel ·
40 Raimund ·
41 Seimen ·
45 Chase ·
Coach: Hoeneß