Norm (vector)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Norm (wiskunde))
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

Een norm is een grootte-begrip van de elementen (vectoren) van een vectorruimte.

Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is noemt men een genormeerde vectorruimte.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een norm is een reële functie op een vectorruimte over een deellichaam van de complexe getallen, met de volgende eigenschappen:[1]

0. De norm is niet negatief.

.

1. Alleen de nulvector heeft norm 0.

2. De norm van het scalaire veelvoud van een vector is het product van de norm met de gewone absolute waarde van de scalair:

Voor reële vectorruimten betekent dit dat de normfunctie positief homogeen is van de eerste graad.

3. De driehoeksongelijkheid. De norm van de som van twee vectoren is niet groter dan de som van de afzonderlijke normen.

Dit zijn niet de minimale eisen voor een norm. Voorwaarde 0 is onnodig en voorwaarde 1 kan worden vervangen door een op zichzelf minder strenge voorwaarde, omdat die in combinatie met de andere voorwaarden equivalent is: . Uit voorwaarde 2 volgt namelijk dat . Als bovendien aan voorwaarde 2 en 3 is voldaan, volgt reeds dat aan voorwaarde 0 is voldaan:

Metriek[bewerken | brontekst bewerken]

In een genormeerde vectorruimte induceert de norm een afstand tussen twee vectoren en , gedefinieerd als de norm van de verschilvector:

Met deze afstand is de ruimte ook een metrische ruimte.

Als deze metrische ruimte volledig is, wordt ze banachruimte genoemd.[1]

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

  • Op de vectorruimte of is de volgende functie van een norm, de euclidische norm, die gelijk is aan de lengte van :
  • Algemener is er voor ieder reëel getal de -norm, waarbij de Manhattan-metriek met de -norm correspondeert en de euclidische norm met de -norm:
De supremumnorm in het tweedimensionale reële vlak. De cirkel van alle vectoren met gegeven positieve norm vormt in de gewone metriek een vierkant.
  • In de limiet van voor ontstaat de maximum- of supremumnorm:
  • Generalisaties van het bovenstaande: oneindigdimensionale -ruimte, en meer algemeen -ruimte, zie Lp-ruimte.
  • Elk inwendig product met scalairenlichaam of bepaalt een norm via de definitie
De euclidische norm wordt dus geïnduceerd door het standaardinproduct op :
of op :
  • Voor elke norm en elke inverteerbare lineaire transformatie kan men een nieuwe norm definiëren door
  • Matrices kunnen opgevat worden als lineaire afbeeldingen tussen twee genormeerde vectorruimten, en in die zin voorzien worden van een norm, die afhangt van het tweetal normen van de beide ruimten (zie onder).
  • Voor complexe -matrices definieert men de frobeniusnorm, geïnduceerd door het frobenius-inproduct:
met de geconjugeerde getransponeerde matrix van .

Seminorm[bewerken | brontekst bewerken]

Een functie, die aan voorwaarden 0, 2 en 3 uit de definitie voldoet, maar niet noodzakelijk aan voorwaarde 1, noemt men een seminorm. Het procedé waarmee een genormeerde ruimte tot een metrische ruimte wordt, maakt van een semigenormeerde ruimte een pseudometrische ruimte. De vectoren waarvan de seminorm 0 bedraagt, vormen in dat geval een lineaire deelruimte, die gesloten is in de met de pseudometriek geassocieerde topologie.

Op de quotiëntruimte wordt dan een normfunctie gedefinieerd door met iedere nevenklasse de pseudonorm van eender welke vertegenwoordiger te associëren. De topologie van deze normfunctie is dezelfde als de quotiënttopologie voor de equivalentierelatie "heeft afstand 0 tot".

Norm van een lineaire afbeelding[bewerken | brontekst bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Operatornorm voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als een lineaire afbeelding is tussen twee genormeerde ruimten en over hetzelfde scalairenlichaam, dan definieert men de operatornorm van als de kleinste bovengrens van de vergrotingen die eenheidsvectoren ondergaan:

Deze norm blijkt dan en slechts dan eindig te zijn als continu is ten opzichte van de respectievelijke topologieën van en .

De verzameling van alle continue lineaire afbeeldingen tussen en

is opnieuw een genormeerde vectorruimte over hetzelfde lichaam.

Matrices representeren lineaire afbeeldingen tussen twee genormeerde vectorruimten en hebben (naast andere normen zoals de bovengenoemde frobeniusnorm) een overeenkomstige norm, die afhangt van het tweetal normen. Bij de euclidische norm in de beide vectorruimten is de norm van de matrix de spectrale norm, dit is de wortel uit de grootste eigenwaarde van de matrix , waarbij de geconjugeerde getransponeerde matrix van is.

Equivalentie van normen[bewerken | brontekst bewerken]

Twee normen en op een vectorruimte zijn equivalent als er positieve getallen bestaan zodat voor alle geldt:

Normen zijn dan en slechts dan equivalent als ze dezelfde topologie induceren. Voor elke zijn alle normen op een -dimensionale vectorruimte equivalent.

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]