Blažić debuteerde in 2002 als doelman van FK Kom Podgorica. Na enkele seizoenen verdedigde hij voor enkele maanden de kleuren van FK Zora. Nadien keerde de doelman terug naar Kom Podgorica.
In 2006 richtte Montenegro een eigen voetbalcompetitie op. In de kersverse Prva Crnogorska Liga begon Blažić aan het nieuwe seizoen bij FK Rudar Plevlja. Met die club veroverde hij de Beker van Montenegro. Het leverde hem een transfer naar Griekenland op. Hij werd in die periode voor de eerste keer opgeroepen voor de nationale ploeg.
In Griekenland tekende hij een contract bij Levadiakos. De club was net gedegradeerd naar Tweede Klasse, de zogenaamde Beta Ethniki. Na enkele jaren promoveerde Levadiakos terug naar de Super League, maar speelde daarin opnieuw degradatievoetbal. Blažić groeide er uit tot een van de sterkhouders. In januari 2010 tekende hij een contract bij Standard Luik, voor een overgang per juli 2010.
Montenegro
Griekenland.svg){kind=small}
België
Cyprus