Stelling van Steiner

C:massacentrum

In de klassieke mechanica laat de stelling van Steiner toe het traagheidsmoment van een voorwerp te berekenen. Die stelling is genoemd naar de Zwitserse wiskundige Jakob Steiner. De stelling is ook bekend als het Huygens-Steiner-theorema.

Tabellen met traagheidsmomenten geven doorgaans enkel formules voor die traagheidsmomenten ten opzichte van een vaste as door het massacentrum. Bij het bestuderen van de rotatie heeft men echter het traagheidsmoment ten opzichte van de rotatieas nodig.

Met de stelling van Steiner kan het traagheidsmoment ten opzichte van een as, niet door het massacentrum, maar wel evenwijdig aan deze door het massacentrum, als volgt berekend worden:

$I_{z'}=I_{z}+d^{2}\cdot m$

Hierin is:

• d de afstand van het massacentrum tot de beschouwde as dus de afstand tussen beide assen.
• m de massa van het voorwerp.

Voor het oppervlaktetraagheidsmoment geldt een analoge stelling: de massa moet vervangen worden door de oppervlakte:

$I_{z'}=I_{z}+d^{2}\cdot A$

Bewijs

Men onderstelt dat het traagheidsmoment gegeven is ten opzichte van een z-as en gevraagd wordt ten opzichte van een evenwijdige z'-as. Voor elke puntmassa in het systeem kan men dan schrijven dat, in een vlak loodrecht op de assen, de positie ten opzichte van de z'-as gegeven is als:

${\vec {r'}}_{i}={\vec {d}}+{\vec {r}}_{i}$

Hierbij bezitten de vectoren r_i en r'_i alleen een x- en y-component en geen z-component.

Het traagheidsmoment ten opzichte van de z'-as is dan:

$I_{z'}=\sum m_{i}{r'}_{i}^{2}=\sum m_{i}({\vec {d}}+{\vec {r}}_{i})\cdot ({\vec {d}}+{\vec {r}}_{i})=(\sum m_{i})d^{2}+2{\vec {d}}\cdot (\sum m_{i}{\vec {r}}_{i})+\sum (m_{i}r_{i}^{2})$

Oftewel

$I_{z'}=(\sum m_{i})d^{2}+\sum (m_{i}r_{i}^{2})$

De term

$\sum m_{i}{\vec {r}}_{i}=0$

indien de z-as door het massacentrum gaat. In projectie wordt dit immers

$\sum m_{i}x_{i}=0,\quad \sum m_{i}y_{i}=0$

en dit is typisch voor het massacentrum als de posities ten opzichte van het massacentrum bepaald worden. De laatste term is het traagheidsmoment ten opzichte van deze z-as. De formule wordt dus, met m de totale massa:

$\displaystyle I_{z'}=I_{z}+md^{2}$