Cilindrische algebra

Een cilindrische algebra is een algebraïsche structuur, bedacht door Alfred Tarski, die op natuurlijke wijze verschijnt in de algebraïsering van de eerste-ordelogica.

Een cilindrische algebra van dimensie $\alpha$, waarin $\alpha$ een ordinaal getal voorstelt, is een algebraïsche structuur $(A,+,\cdot ,-,0,1,c_{\kappa },d_{\kappa \lambda })_{\kappa ,\lambda <\alpha }$ zodanig dat $(A,+,\cdot ,-,0,1)$ een booleaanse algebra vormt, $c_{\kappa }$ een unaire operatie op $A$ voorstelt voor alle $\kappa$ en $d_{\kappa \lambda }$ een verschillend element van $A$ voorstelt voor elke $\kappa$ en $\lambda$ zodanig dat de zeven volgende axioma's gelden:

(C1) $c_{\kappa }0=0$

(C2) $x\leq c_{\kappa }x$

(C3) $c_{\kappa }(x\cdot c_{\kappa }y)=c_{\kappa }x\cdot c_{\kappa }y$

(C4) $c_{\kappa }c_{\lambda }x=c_{\lambda }c_{\kappa }x$

(C5) $d_{\kappa \kappa }=1$

(C6) Als $\kappa \neq \lambda \mu$, dan $d_{\lambda \mu }=c_{\kappa }(d_{\lambda \kappa }\cdot d_{\kappa \mu })$

(C7) Als $\kappa \neq \lambda$, dan $c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot x)\cdot c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot -x)=0$

De axioma's vallen als volgt te herschrijven:

(C1) $\exists \kappa .{\mathit {false}}\Leftrightarrow {\mathit {false}}$

(C2) $x\Rightarrow \exists \kappa .x$

(C3) $\exists \kappa .(x\wedge \exists \kappa .y)\Leftrightarrow (\exists \kappa .x)\wedge (\exists \kappa .y)$

(C4) $\exists \kappa \exists \lambda .x\Leftrightarrow \exists \lambda \exists \kappa .x$

(C5) $\kappa =\kappa \Leftrightarrow {\mathit {true}}$

(C6) Als $\kappa$ een veranderlijke voorstelt verschillend van $\lambda$ en $\mu$, dan $\lambda =\mu \Leftrightarrow \exists \kappa .(\lambda =\kappa \wedge \kappa =\mu )$

(C7) Als $\kappa$ en $\lambda$ verschillende veranderlijken voorstellen, dan $\exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge x)\wedge \exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge \neg x)\Leftrightarrow {\mathit {false}}$