Methode van Romberg

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de numerieke wiskunde, een deelgebied van de wiskunde, is de methode van Romberg een numerieke methode voor het berekenen van een bepaalde integraal. De methode vertrekt van een reeks opeenvolgende benaderingen bekomen met de trapeziumregel, waarop dan Richardson-extrapolatie wordt toegepast als versnellingsmechanisme.

Methode[bewerken]

De methode berekent een driehoekig schema van benaderingen van de te berekenen integraal. De globale vorm van de driehoek is rechthoekig, gelijkzijdig, met de schuine zijde van linksboven naar rechtsonder (zie voorbeeld hieronder).De elementen in de meest linkse kolom zijn de resultaten van numerieke integraties berekend met de eenvoudige trapeziumregel. Het aantal equidistente intervallen dat men hierbij op het integratiegebied [a,b] gebruikt, neemt toe als een macht van 2. R(0,0) benadert de integraal door middel van één enkel trapezium, R(1,0) door middel van 2, en in het algemeen R(n,0) door middel van 2^n intervallen.

R(0,0) = \frac{1}{2} (b-a) (f(a) + f(b))

en vervolgens, voor n gaande van 1 tot en met een gekozen maximum n(max):

R(n,0) = \frac{1}{2} R(n-1,0) + h_n \sum_{k=1}^{2^{n-1}} f(a + (2k-1)h_n)

In deze formules is rekening gehouden met het feit dat er in elke volgende stap de helft van de gebruikte punten kunnen worden overgenomen van de vorige. De bijkomende netpunten liggen steeds precies tussen de vorige. Dit heeft tot gevolg dat het aantal evaluaties van de te integreren functie gehalveerd wordt. Vervolgens wordt de driehoek vanuit deze linkerzijde horizontaal naar rechts vervolledigd door de bijkomende schattingen R(n,m) waarbij 1 \, \leq \, m \, \leq \, n

R(n,m) = \frac{1}{4^m-1} ( 4^m R(n,m-1) - R(n-1,m-1))

waarbij

 h_n = \frac{b-a}{2^n}.

De benaderingen met m = 1 stemmen overeen met de regel van Simpson waarbij tussen drie opeenvolgende netpunten parabolische benaderingen geïntegreerd worden. De benaderingen met m = 2 stemmen overeen met de regel van Boole, die door vijf opeenvolgende punten een vierde graadsveelterm trekt, en deze dan integreert.

De fout op R(nm) is

 O\left(h_n^{2m+2}\right). \,

Implementatie[bewerken]

Het totaal aantal evaluaties van de integrand is 2^n+1. Deze geschieden allemaal bij de berekening van de linkse kolom. Het vervolledigen van de driehoek vereist geen verdere evaluaties. De Engelstalige versie van dit artikel bevat een voorbeeld van implementatie in de programmeertaal C.

Voorbeeld[bewerken]

Als voorbeeld wordt de functie sin(x) geïntegreerd tussen x=0 en x=1. De rechtstreeks berekende oplossing is 0.4596976941. De resultaten van de Rombergintegratie zijn:


R(0,0) = 0.4207354924

R(1,0) = 0.4500805155 : R(1,1) = 0.4598621899

R(2,0) = 0.4573009375 : R(2,1) = 0.4597077448 : R(2,2) = 0.4596974485

R(3,0) = 0.4590989734 : R(3,1) = 0.4596983187 : R(3,2) = 0.4596976903 : R(3,3) = 0.4596976941

Merk op dat de benadering R(3,0), in feite een benadering met de trapeziumregel met 8 intervallen, slechts tot op drie beduidende cijfers correct is, terwijl de Rombergmethode, met evenveel evaluaties van de integrand, tien beduidende cijfers haalt. Dit grote verschil zal wel afhankelijk zijn van de te berekenen integraal.

Referentie[bewerken]

  • (en) S. D. Conte, C. de Boor (1981) "Elementary Numerical Analysis", McGraw-Hill International Editions