Interval (wiskunde)

In de wiskunde is een interval een deelverzameling met aaneengesloten elementen van een verzameling waarop een totale ordening is gedefinieerd. Een deelverzameling uit één stuk, zou men kunnen zeggen. De eigenlijke intervallen bestaan uit alle getallen die zich tussen twee gegeven getallen, de eindpunten, bevinden, waarbij elk eindpunt al dan niet meegerekend wordt. Oneigenlijke intervallen zijn deelverzamelingen die slechts aan één zijde begrensd zijn door een eindpunt.

Notatie

Bij een zogenaamd gesloten interval doen de eindpunten mee, bijvoorbeeld: $p \leq x \leq b$.
Bij een open interval doen de eindpunten niet mee, bijvoorbeeld: $p < x < q$.
Verder kan een interval (links of rechts) half open zijn.
Hieronder staat een opsomming van de mogelijkheden met verschillende notaties, steeds is a < b:

Eindige eindpunten

$(a,b)=]a,b[=\lang a,b\rang=\{x \in \mathbb{R}|a < x < b\}$ (randen tellen niet mee, een open interval)

$[a,b]=\{x \in \mathbb{R}|a \leq x \leq b\}$ (randen tellen wel mee, een gesloten interval)

$[a,b)=[a,b[=[a,b\rang=\{x \in \mathbb{R}|a \leq x < b\}$ (linker rand telt wel mee, rechter niet, een half open interval)

$(a,b]=]a,b]=\lang a,b]=\{x \in \mathbb{R}|a < x \leq b\}$ (rechter rand telt wel mee, linker niet, half open interval)

Eindpunt in oneindig

$(-\infty,b)=]-\infty,b[=\lang \leftarrow,b\rang=\{x \in \mathbb{R}| x < b\}$

$(-\infty,b]=]-\infty,b]=\lang \leftarrow,b]=\{x \in \mathbb{R}| x \leq b\}$

$(a,\infty)=]a,\infty[=\lang a,\rightarrow\rang=\{x \in \mathbb{R}| x > a\}$

$[a,\infty)=[a,\infty[=[a,\rightarrow\rang=\{x \in \mathbb{R}| x \geq a\}$

$(-\infty,\infty)=]-\infty,\infty[=\lang \leftarrow,\rightarrow \rang=\mathbb{R}$

Minimaal interval

$(a,a)=]a,a[=\lang a,a\rang=\empty$

$[a,a] = \{ a_{ }^{ }\}$

Voorbeelden

• interval -1 tot 5, waarbij beide getallen meedoen: [-1, 5]
• interval 67 tot 100, waarbij 100 niet meedoet: [67, 100> (of [67, 100) )
• interval -35 tot oneindig¹, waarbij -35 meedoet: [-35, →> (of [-35, →) )
• interval -oneindig tot 5, en 6 tot oneindig, waarbij 5 meedoet maar 6 niet: <←, 5] ∪ <6, →>
• interval -oneindig tot oneindig, waarbij 70, 71, en 80 niet meedoen: <←, 70> ∪ <70, 71> ∪ <71, 80> ∪ <80, →>

Opmerking

Zoals wel vaker in de wiskunde zijn er meer definities in zwang voor eenzelfde begrip.
Zo staat voor vele wiskundigen interval voor wat hiervoor open interval wordt genoemd, en staat een segment voor wat hiervoor gesloten eindig interval wordt genoemd.