Deelverzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een Venndiagram van verzameling A als deelverzameling van B.
B omvat A.

In de verzamelingenleer is een deelverzameling van een gegeven verzameling een verzameling die geheel bevat is in (deel is van) de gegeven verzameling. Alle elementen van de deelverzameling zijn dus ook element van de gegeven verzameling. Als A en B verzamelingen zijn en ieder element van A is ook een element van B, dan is A een deelverzameling van B, genoteerd als:

A \subseteq B.

Formeel:

A \subseteq B \Longleftrightarrow [ \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B ].

Iedere verzameling is een deelverzameling van zichzelf, voor iedere verzameling A geldt dus  A \subseteq A.

De omgekeerde definitie is minder gebruikelijk. Uitgaande van dezelfde verzamelingen A en B zeggen we: B omvat A, genoteerd als B \supseteq A.

Strikte deelverzameling[bewerken]

Een deelverzameling van B die niet gelijk is aan B wordt een echte, strikte of eigenlijke deelverzameling genoemd. Formeel:

A \subseteq B \and A \neq B (waarin A een strikte deelverzameling is van B)

Verschillende schrijfwijzen[bewerken]

Als A een echte deelverzameling is van B, dan wordt dat door sommige auteurs genoteerd als:

A \subset B.[1]

Andere auteurs noteren A \subset B als A een willekeurige deelverzameling van B is, dus eventueel A=B.

Er zijn dus twee notatiesystemen in omloop voor het aangeven van (echte) deelverzamelingen:

  • Het oudste systeem gebruikt het symbool \subset om elke deelverzameling aan te geven en kent het symbool \subseteq niet.
  • Een nieuwer systeem gebruikt het symbool \subseteq voor een willekeurige deelverzameling en \subset voor een echte deelverzameling.

Voorbeelden[bewerken]

  • {1,2} ⊂ {1,2,3} - De verzameling {1,2} is een echte deelverzameling van {1,2,3}.
  • De verzameling van natuurlijke getallen is een echte deelverzameling van de verzameling van de rationale getallen.
  • De verzameling {x : x is een priemgetal groter dan 2000} is een echte deelverzameling van {x : x is een oneven getal groter dan 1000}
  • Elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf, maar geen echte deelverzameling.
  • De lege verzameling, geschreven als {} of als \empty, is een deelverzameling van elke verzameling. De lege verzameling is altijd een onechte deelverzameling, behalve van zichzelf.
  • Het begrip hyponiem in de taal komt overeen met het begrip deelverzameling.

Machtsverzameling[bewerken]

De verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling A wordt ook wel de machtsverzameling van A genoemd en genoteerd als \mathcal{P}(A) en ook wel als 2^A. Er geldt dus per definitie:

\mathcal{P}(A)=\{B|B \subseteq A\}.

Bronvermelding[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Dictaat TI1300 Redeneren en Logica, (Delft: Delft Univerity Press).