Rationaal getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
verzameling van de rationale getallen \Q.

Een rationaal getal is in de wiskunde het quotiënt (verhouding, Latijn: ratio) van twee gehele getallen waarvan het tweede niet nul is. De verzameling van rationale getallen wordt meestal genoteerd als \Q.

De rationale getallen maken deel uit van de reële getallen \R en omvatten de gehele getallen \Z. Elk geheel getal is dus ook een rationaal getal en elk rationaal getal is ook een reëel getal.

Voorbeelden van rationale getallen zijn: 1/2, 2/7, 9/4, -2/5, -5/2. Ook elk geheel getal is rationaal, bijvoorbeeld: 1 = 1/1 = 3/3, 14 = 14/1 = 56/4, etc. Elk decimaal getal met eindig veel decimalen is een rationaal getal:

0,5 = 1/2
0,17 = 17 / 100
0,567943209 = \tfrac{567943209}{1000000000}

Niet elk rationaal getal is echter te schrijven als decimaal getal met eindig veel decimalen. Zo is bijvoorbeeld:

1/3 = 0,3333...

en

15/7 = 2,142857 142857 142857 142857...,

beide decimale getallen met oneindig veel decimalen, echter wel met een zich herhalend patroon. Men spreekt van repeterende breuk. Het kan bewezen worden dat elk rationaal getal in het decimale stelsel "achter de komma" een eindig aantal cijfers heeft of een oneindig aantal cijfers, waarin zich een patroon herhaalt.

Als een getal met oneindig veel decimalen geen herhalend patroon heeft is dit getal irrationaal.

De verzameling van de rationale getallen is niet eindig, maar wel aftelbaar. De rationale getallen liggen dicht op de reële rechte, wat betekent dat elk punt op die rechte willekeurig dicht benaderd kan worden door een rationaal getal, maar er zijn ook oneindig veel 'gaten', want tussen elk tweetal rationale getallen ligt een irrationaal getal.

Getallen als de wortel uit 2, π en e behoren niet tot de verzameling van rationale getallen, omdat ze niet als een breuk, dus als quotiënt van twee gehele getallen, geschreven kunnen worden. Deze getallen heten irrationaal.

Operaties met rationale getallen[bewerken]

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

Als verzameling zijn de rationale getallen volgens de bovenstaande definitie te schrijven als

\Q=\left\{\frac ab:a,b\in\Z, b \ne 0 \right\},

waarin \Z, de verzameling van gehele getallen is.

\Q is door de eigenschappen van de optelling en vermenigvuldiging een voorbeeld van een lichaam (Nederland) of veld (Belgisch). Voor de operaties die we met rationale getallen kunnen uitvoeren, gelden de volgende regels.

Optellen: \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}
Vermenigvuldigen: \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}
Aftrekken: \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}
Delen: \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}\qquad(c\ne 0)

Eigenschappen[bewerken]

\Q is het quotiëntenlichaam van het integriteitsdomein \Z van de gehele getallen.

\Q is het kleinste lichaam van karakteristiek 0. Elk ander lichaam van karakteristiek 0 bevat een kopie van \Q.

De rationale getallen zijn niet algebraïsch gesloten, bijvoorbeeld doordat de vierkantswortel van het rationale getal 2 niet op zijn beurt rationaal is (zie bewijs).

De algebraïsche sluiting van \Q is het lichaam van de algebraïsche getallen. Deze verzameling wordt genoteerd als \overline{\Q} (of \mathbb{A}) en is net als \Q aftelbaar. Let wel, \overline{\Q} is niet gelijk aan het lichaam \C van de complexe getallen, dat de algebraïsche sluiting van de reële getallen is.

Zie ook[bewerken]