Repeterende breuk

Een repeterende breuk , ook repeterende decimale breuk, is een breuk die niet als een echte decimale breuk te schrijven is.

De naam slaat op het feit dat in de fractie (het deel achter de komma) steeds dezelfde rij van cijfer(s) voorkomt, zich herhaalt. Deze rij cijfers heet het repeterende gedeelte.

In de normale schrijfwijze wordt de repeterende breuk afgerond, wat wil zeggen dat alleen een bepaald aantal cijfers wordt genoteerd. Zo wordt 2/3 afgerond op:

• 2 decimalen als 0,67
• 5 decimalen als 0,66667

Een andere schrijfwijze is die waarbij men laat zien wat het repeterende gedeelte is. Dit doet men door een streep te zetten door het eerste cijfer van het repeterende gedeelte en door het laatste. Omdat dit op een computer niet eenvoudig is, gebruiken we hier een andere manier: we zetten een schuine streep (/) vóór het eerste en na het laatste cijfer van het repeterende gedeelte:

• 2/3 wordt 0,/6/ dus 0,6666666...
• 1/7 wordt 0,/142857/ dus 0,14285714285714...
• 7/30 wordt 0,2/3/ dus 0,2333333...

Als gewone breuk

Een repeterende breuk kan op de volgende manier als een gewone breuk (teller, breukstreep, noemer) geschreven worden.

Stel x = 0,12/3/, dan is

10 x = 1,2/3/ = 1,23/3/,

dus

10 x - x = 1,23/3/ - 0,12/3/ = 1,11

(de repeterende gedeelten vallen tegen elkaar weg), zodat:

9 x = 1,11

900 x = 111

x = 111/900 = 37/300

Bestaat het repeterende deel uit meer dan 1, zeg 6 cijfers, dan trekken we x af van 1.000.000 x, zodat weer het repeterende deel wegvalt.

Het bovenstaande kan ook als volgt geïnterpreteerd worden:

Bestaat de repeterende breuk alleen uit een repeterend deel, dan krijgt men de breuk als het repeterend deel R gedeeld door evenveel 9's als er cijfers in het repeterend deel zijn:

vb: 0,123123123... wordt $\frac{123}{999}$ (repeterend deel is "123"; 3 cijfers, dus delen door 999)

vb: 0,2222... wordt $\frac{2}{9}$

vb: 0,100310031003... wordt $\frac{1003}{9999}$

Is er ook nog een vast deel, dan moet er wat omgerekend worden.

vb: 0,3721903903...

Hiervoor schrijven we:

$0{,}3721903903... =0{,}3721 + 0{,}0000903903... = 0{,}3721 + \frac{0{,}903903...}{10000} = \frac{3721+0{,}903903...}{10000} = \frac{3721}{10000}+\frac{903}{9990000}$.

wat we kunnen vereenvoudigen tot $\frac{619697}{1665000}$.

Als limiet

Een repeterende breuk kan wiskundig opgevat worden als een reeks, dus als limiet van partiële sommen. Zo kan de breuk 2/3, geschreven worden als:

$\frac 23 = 0{,}/6/ =0{,}6+0{,}06+0{,}006+\dots=6\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 10^{-k}=6\sum_{k=1}^\infty 10^{-k}$

en de breuk 1/7 als:

$\frac 17 = 0{,}/142857/ =0{,}142857+0{,}000000142857+0{,}000000000000142857+\dots=142857\sum_{k=1}^\infty 10^{-6k}$

De optredende reeksen zijn meetkundige reeksen, waarvan een gesloten uitdrukking berekend kan worden die weer de oorspronkelijke breuk oplevert.

Repeterende negens

Een bijzonder geval vormen repeterende breuken met een repeterende 9. Een dergelijke breuk laat ook een niet-repeterende schijfwijze toe. Een repeterende breuk die eindigt op /9/ kan geschreven worden als een gewone breuk die eindigt op een cijfer dat 1 hoger is dan het niet-repeterende deel.

In het bijzonder is:

0,/9/ = 0,999... (of zo men wil 0,9999999999999999999999999999999999999... maar niet eindigend) = 1

Het bewijs volgt de bovengenoemde weg:

Zij $\frac{}{}x=0,999...$, dan is:

$\frac{}{}10x = 9,999...$.

Hieruit volgt:

$\frac{}{}9x = 10x-x = 9,999... - 0,999... = 9$,

oftewel

$\frac{}{}x=1$.

De repeterende breuk kan ook opgevat worden als een meetkundige reeks, dat wil zeggen als de som van een meetkundige rij.

$0,999... = \sum_{n=1}^\infty 9 (\frac{1}{10})^n$

Een meetkundige rij is een opeenvolging van getallen $a_1, a_2, \ldots$, waarbij geldt dat $a_{n+1} = a_n * r$, met r een constante.

Voor zo'n meetkundige rij geldt dat de som van alle elementen gelijk is aan $a_1 \frac{1}{1 - r}$, mits $r<1$.

We kunnen dus berekenen:

$0,999...=\sum_{n=1}^\infty 9(\frac{1}{10})^n= \frac{9}{10} \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1$.

Andere voorbeelden:

0,23/9/ = 0,24

0,145/9/ = 0,146

Externe links

• http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm