Meetkundige rij

Een meetkundige rij is in de wiskunde een rij getallen waarin elk volgend element ontstaat door zijn voorganger met een constante (de reden) te vermenigvuldigen. Als a het eerste element is van de rij en r de reden, dan ligt de gehele rij vast. Het begin van de rij is dan:

$a, ar, ar^2, ar^3, \ldots$

Het algemene element

Het eerste element is:

$\!\,t_1=a$

Het n-de element is recursief gegeven door:

$t_n=r\, t_{n-1}$,

zodat

$t_n=a\,r^{n-1}$.

Partiële sommen

Als de opeenvolgende elementen van een rij steeds bij elkaar worden opgeteld, dan spreken we van een reeks.

De partiële som s_n van de eerste n elementen van een meetkundige rij met eerste element a en reden r wordt voor r ≠ 1 gegeven door

$s_n= \sum_{k=1}^n t_k =a\,\frac{1-r^n}{1-r^{\ }}.$

Voor r = 1 hebben we de triviale recursie t_n = t_{n − 1}, en dus geldt

$\!\,s_n=na.$

Als |r| < 1, is de meetkundige reeks convergent en kan de som s (de som van "alle" elementen) berekend worden:

$s = \sum_{k=1}^\infty t_k =\frac{a}{1-r}$

Voor |r| > 1 is de meetkundige reeks divergent.

Voorbeeld

Gegeven is de volgende rij: 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, ... Dit is een meetkundige rij met eerste element 1 en reden ½.

Het 15e element is

$t_{15}=ar^{15-1}=2^{-14} \!$.

De som van de eerste 15 elementen is

$s_{15}=a\frac{1-r^{15}}{1-r}=1\cdot \frac{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{15}}{1-\tfrac{1}{2}} = 2\left(1-2^{-15}\right)=2-2^{-14}$.

Schematische weergave van de meetkundige reeks 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... die convergeert naar 2.

De som is

$s=a\frac{1}{1-r}=1\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

Afleiding van de formule voor de partiële som

Er geldt zowel:

$s_n = \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}$

als:

$rs_n =ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n$ .

We trekken de tweede uitdrukking af van de eerste en vinden:

$s_n-rs_n=a - ar^n\!$ ,

zodat:

$s_n(1-r)= a(1-r^n) \!$

en dus:

$s_n= a \frac{1-r^n}{1-r\ }$ , mits r ≠ 1,

Merk op dat we voor |r| < 1 hebben dat $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ en daarmee:

$s=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} a \frac{1-r^n}{1-r\ }= \frac{a}{1-r}$ .

Toepassingen

Meetkundige rijen komen vaak voor. Het bekendste voorbeeld is dat van interestberekeningen: bij een vast rentepercentage van r (per periode van bijvoorbeeld een jaar) groeit het kapitaal elke periode aan met een factor (reden) 1 + r. Een oorspronkelijk kapitaal K is na n perioden aangegroeid tot K(1 + r)ⁿ. Andere voorbeelden betreffen de hoogte die een stuiterende bal bereikt na n keer stuiteren, en de intensiteit van licht dat n keer weerkaatst is. Repeterende decimale breuken kunnen worden opgevat als meetkundige reeksen en daardoor eenvoudig worden omgezet in natuurlijke breuken.

Zie ook

• Rekenkundige rij
• Reeks