Reeks (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het wiskundige begrip reeks tracht de optelling van getallen te veralgemenen tot oneindige rijen getallen.

Een reeks is altijd afgeleid van een rij. Door de termen (bijvoorbeeld losse getallen) van de rij

a_1, a_2, a_3, a_4, ...\!

op te tellen ('sommatie') vindt men de bijbehorende reeks. Deze wordt genoteerd als \sum a_n.

Partiële sommen[bewerken]

Een reeks is een ander woord voor rij van partiële sommen. De bij de rij a_1,a_2,a_3,\cdots behorende reeks is dus de rij

a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\cdots

Voor zo'n reeks hebben we een korte notatie \sum a_n. Als de reeks \sum a_n convergeert, dan noteren we haar limiet als :\sum_{n=1}^{\infty} a_n.
Dus \sum_{n=1}^{\infty} a_n (= a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots) is per definitie \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k a_n

Meestal ziet men in de literatuur de volgende notatie:
De reeks \sum a_n wordt daarbij genoteerd als a_1+a_2+a_3+\cdots of als :\sum_{n=1}^{\infty} a_n.

In dit artikel hanteren we echter een strikt onderscheid tussen enerzijds de reeks en anderzijds haar eventuele limietwaarde.

Convergentie[bewerken]

Een reeks heet convergent als de rij der partieelsommen convergeert naar een eindige limiet s. In dat geval noemt men s de som van de reeks. Dan is dus:

a_1 + a_2 + a_3 + ... = s\!

Als de deelsommen convergeren, dan moeten de termen convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: Een reeks waarvan de termen convergeren naar 0 kan nog steeds divergent ( = niet convergent) zijn, zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.

Absolute convergentie[bewerken]

Een reeks heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen a_i\! op hun beurt de bouwstenen zijn van een convergente reeks.

Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente reeks die niet absoluut convergent is, geldt dit helemaal niet. Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.

Bewijs[bewerken]

Een schets van een bewijs hiervoor:

  • Stel \sum a_n is een convergente reeks en \sum |a_n| is divergent. Dan kan dit alleen als \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| oneindig is.
  • Verdeel nu de rij \{a_n\}\! in twee deelrijen, een met de positieve en de andere met de negatieve waarden. Minstens een van beide heeft een oneindige som. Om toch eindig uit te kunnen komen, moet dat ook voor de andere gelden.
  • Maak nu (voor zekere waarde t) een nieuwe oneindige som \sum_{n=1}^\infty b_n op de volgende wijze: Als de som van de eerste n elementen groter is dan t, nemen we het eerste nog niet gebruikte element van de negatieve deelrij, anders het eerste nog niet gebruikte element uit de positieve deelrij.
  • In de zo gevormde oneindige som zullen alle termen van de uitgangsrij weer voorkomen, maar in een andere volgorde en de reeks zal convergeren naar t.

Geometrische of meetkundige reeks[bewerken]

De reeks voortgebracht door de machten van een getal a met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:

1 + a + a^2 + a^3 + ... = \frac{1}{1-a}

Dit is als volgt te bewijzen:

 S_n = 1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^n, a < 1
 aS_n = a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{n+1}
 S_n - aS_n = 1 - a^{n+1} \!
 S_n ( 1 - a ) = 1 - a^{n+1} \!
 S_n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} \!
s=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} = \frac{1}{1-a} .


De reeks \sum \frac{1}{a^n} heet de geometrische of meetkundige reeks. Deze reeks heeft een exponentieel verloop, zoals ook kan worden gezien aan de hand van de exponentiële Taylor-reeks (zie verder).

Anders geformuleerd geldt, als |b| strikt groter is dan 1:

\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{b^n}=\frac{b}{b-1}

dus bijvoorbeeld

1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + \frac{1}{343} + ... = \frac{7}{6}

Harmonische reeks[bewerken]

De harmonische rij is in de wiskunde de rij  1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{5},\cdots , dus met algemene term: a_n=\tfrac{1}{n}

De bijbehorende harmonische reeks

\sum\tfrac{1}{n}

is divergent.

Bewijs[bewerken]

Dit valt op de volgende wijze in te zien:

  • Verdeel (vanaf n = 2) de termen in groepen van steeds dubbele grootte, dat wil zeggen:
\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}+\dots+\tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{9}+\dots+\tfrac{1}{16}, \dots.
  • Er zijn oneindig veel van deze groepen en van elke groep is de som groter dan of gelijk aan \tfrac{1}{2}, bijvoorbeeld
\tfrac{1}{5}+\dots+\tfrac{1}{8} \geq \tfrac{1}{8}+\dots+\tfrac{1}{8}=4\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2}.
  • Dus is de totale som, die de som is van al deze groepen, groter dan elk willekeurig getal, en dus oneindig.

Dus de reeks

\sum \tfrac{1}{2}

is een minorente reeks (alle termen zijn kleiner of gelijk aan die van de reeks hierboven). Deze reeks gaat naar +∞ en dus de harmonische reeks ook.

Opmerking: ln(x) en de harmonische reeks naderen even traag naar oneindig. Zie constante van Euler

Hyperharmonische reeks[bewerken]

De harmonische reeks divergeert, in tegenstelling tot de hyperharmonische reeks die zowel convergent als divergent kan zijn:

Voorbeeld[bewerken]

Bekijk de n-de term van een (hyper)harmonische reeks:

1+\tfrac{1}{2^p} + \tfrac{1}{3^p} + \dots + \tfrac{1}{n^p}
waarbij p \in \mathbb{R}
  1. Als p=1: harmonische reeks, divergeert
  2. Als p<1: hyperharmonische reeks, divergeert
  3. Als p>1: hyperharmonische reeks, convergeert

Alternerende reeks[bewerken]

Bij een alternerende reeks wisselen de termen elke keer van teken.

De reeks \sum \tfrac{(-1)^{n+1}}{n} is convergent, maar niet absoluut convergent:

1 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} + ... = \ln(2)

Deze reeks heet alternerende harmonische reeks.

Andere typen reeksen[bewerken]

Andere typen reeksen zijn onder andere:

Voorbeeld[bewerken]

Voorbeeld van oneindige sommen die een relatie hebben met het getal pi:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}

Vele van deze reekssommen kunnen aangetoond worden met behulp van Fourierreeksen

Referenties[bewerken]

Zie ook[bewerken]