Reeks (wiskunde)

Het wiskundige begrip reeks tracht de optelling van getallen te veralgemenen tot oneindige rijen getallen.

Een reeks is altijd afgeleid van een rij. Door de termen (bijvoorbeeld losse getallen) van de rij

$a_1, a_2, a_3, a_4, ...\!$

op te tellen ('sommatie') vindt men de bijbehorende reeks. Deze wordt genoteerd als $\sum a_n$.

Partiële sommen

Een reeks is een ander woord voor rij van partiële sommen. De bij de rij $a_1,a_2,a_3,\cdots$ behorende reeks is dus de rij

$a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\cdots$

Voor zo'n reeks hebben we een korte notatie $\sum a_n$. Als de reeks $\sum a_n$ convergeert, dan noteren we haar limiet als :$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
Dus $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (= a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots)$ is per definitie $\lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k a_n$

Meestal ziet men in de literatuur de volgende slordige notatie:
De reeks $\sum a_n$ wordt daarbij genoteerd als $a_1+a_2+a_3+\cdots$ of als :$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
Dit geeft dan de volgende vreemde bewering:
De reeks $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ convergeert naar $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
Het gevolg van deze slordige notatie is dat men soms hoort beweren dat een reeks een getal is.
Je kunt dan zeggen $1-1+1-1+\cdots$ divergeert en tevens $1-1+1-1+\cdots$ is onzin.

We laten ons in dit artikel niet verleiden tot de slordige notatie.

Convergentie

Een reeks heet convergent als de rij der partieelsommen convergeert naar een eindige limiet $s$. In dat geval noemt men $s$ de som van de reeks. Dan is dus:

$a_1 + a_2 + a_3 + ... = s\!$

Als de deelsommen convergeren, dan moeten de termen convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: Een reeks waarvan de termen convergeren naar 0 kan nog steeds divergent ( = niet convergent) zijn, zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.

Absolute convergentie

Een reeks heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen $a_i\!$ op hun beurt de bouwstenen zijn van een convergente reeks.

Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente reeks die niet absoluut convergent is, geldt dit helemaal niet, Men kan dan door een slimme herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.

Bewijs

Een schets van een bewijs hiervoor:

• Stel $\sum a_n$ is een convergente reeks en $\sum |a_n|$ is divergent. Dan kan dit alleen als $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ oneindig is.
• Verdeel nu de rij $\{a_n\}\!$ in twee deelrijen, een met de positieve en de andere met de negatieve waarden. Minstens een van beide heeft een oneindige som. Om toch eindig uit te kunnen komen, moet dat ook voor de andere gelden.
• Maak nu (voor zekere waarde t) een nieuwe oneindige som $\sum_{n=1}^\infty b_n$ op de volgende wijze: Als de som van de eerste n elementen groter is dan t, nemen we het eerste nog niet gebruikte element van de negatieve deelrij, anders het eerste nog niet gebruikte element uit de positieve deelrij.

• In de zo gevormde oneindige som zullen alle termen van de uitgangsrij weer voorkomen, maar in een andere volgorde en de reeks zal convergeren naar t.

Geometrische of meetkundige reeks

De reeks voortgebracht door de machten van een getal $a$ met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:

$1 + a + a^2 + a^3 + ... = \frac{1}{1-a}$

Dit is als volgt te bewijzen:

$S_n = 1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^n, a < 1$

$aS_n = a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{n+1}$

$S_n - aS_n = 1 - a^{n+1} \!$

$S_n ( 1 - a ) = 1 - a^{n+1} \!$

$S_n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} \!$

$s=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} = \frac{1}{1-a}$ .

De reeks $\sum \frac{1}{a^n}$ heet de geometrische of meetkundige reeks. Deze reeks heeft een exponentieel verloop, zoals ook kan worden gezien aan de hand van de exponentiële Taylor-reeks (zie verder).

Anders geformuleerd geldt, als |b| strikt groter is dan 1:

$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{b^n}=\frac{b}{b-1}$

dus bijvoorbeeld

$1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + \frac{1}{343} + ... = \frac{7}{6}$

Harmonische reeks

De harmonische rij is in de wiskunde de rij $1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{5},\cdots$, dus met algemene term: $a_n=\tfrac{1}{n}$

De bijbehorende harmonische reeks

$\sum\tfrac{1}{n}$

is divergent.

Bewijs

Dit valt op de volgende wijze in te zien:

• Verdeel (vanaf n = 2) de termen in groepen van steeds dubbele grootte, dat wil zeggen:

$\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}+\dots+\tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{9}+\dots+\tfrac{1}{16}, \dots$.

• Er zijn oneindig veel van deze groepen en van elke groep is de som groter dan of gelijk aan $\tfrac{1}{2}$, bijvoorbeeld

$\tfrac{1}{5}+\dots+\tfrac{1}{8} \geq \tfrac{1}{8}+\dots+\tfrac{1}{8}=4\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2}$.

• Dus is de totale som, die de som is van al deze groepen, groter dan elk willekeurig getal, en dus oneindig.

Dus de reeks

$\sum \tfrac{1}{2}$

is een minorente reeks (alle termen zijn kleiner of gelijk aan die van de reeks hierboven). Deze reeks gaat naar +∞ en dus de harmonische reeks ook.

Opmerking: ln(x) en de harmonische reeks naderen even traag naar oneindig. Zie constante van Euler

Hyperharmonische reeks

De harmonische reeks divergeert, in tegenstelling tot de hyperharmonische reeks die zowel convergent als divergent kan zijn:

Voorbeeld

Bekijk de n-de term van een (hyper)harmonische reeks:

$1+\tfrac{1}{2^p} + \tfrac{1}{3^p} + \dots + \tfrac{1}{n^p}$

waarbij $p \in \mathbb{R}$

1. Als p=1: harmonische reeks, divergeert
2. Als p<1: hyperharmonische reeks, divergeert
3. Als p>1: hyperharmonische reeks, convergeert

Alternerende reeks

Bij een alternerende reeks wisselen de termen elke keer van teken.

De reeks $\sum \tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ is convergent, maar niet absoluut convergent:

$1 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} + ... = \ln(2)$

Deze reeks heet alternerende harmonische reeks.

Andere typen reeksen

Andere typen reeksen zijn onder andere:

• Taylorreeks
• Machtreeks
• Binomiaalreeks

Voorbeeld

Voorbeeld van oneindige sommen die een relatie hebben met het getal pi:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}$

Vele van deze reekssommen kunnen aangetoond worden met behulp van Fourierreeksen

Referenties

• van Rooij, A.C.M. Analyse voor Beginners, Epsilon-uitgaven, 2003(4e druk). ISBN 978-90-5041-005-2
• Wat reeksen zijn, is niet te zeggen Kritiek van Hessel Pot op de term "reeks" die niet eenduidig is en overbodig, NAW 5/9 nr. 4 december 2008

Zie ook

• Constante van Euler
• reeksontwikkeling