Functie (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Grafiek van een voorbeeldfunctie,
\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}

In de wiskunde drukt een functie een afhankelijkheid uit van één element van een ander. Meestal wordt het begrip gebruikt in de traditionele context waarin deze elementen getallen zijn. Een functie f is dan een afbeelding van getallen, die voorschrijft wat de functiewaarde f(x) is van het argument x. De functie f(x) = 2x bijvoorbeeld bepaalt van elk reëel getal x als functiewaarde f(x) = 2x het dubbele van dit getal. Deze opvatting van het begrip functie is niet algemeen.

Het wiskundige begrip 'functie' heeft in het Nederlandse taalgebied geen eenduidige betekenis, zij het dat de nuanceverschillen gering en van ondergeschikte betekenis zijn. Enerzijds is er de opvatting dat een functie een relatie is die voor ieder 'origineel' maximaal één 'beeld' heeft; dit wordt door sommigen ook wel een partiële functie genoemd. Anderzijds, ook in andere taalgebieden, is er de opvatting een functie als synoniem te beschouwen van afbeelding, dus een relatie die voor ieder 'origineel' precies één 'beeld' heeft, soms ook wel totale functie genoemd. In dit artikel wordt deze definitie gevolgd.

Behalve elementaire functies op getallen kunnen functies ook afbeelding tussen algebraïsche structuren zoals groepen en afbeeldingen tussen meetkundige objecten, zoals variëteiten zijn. In de abstracte verzameling-theoretische benadering is een functie een relatie tussen het domein en het codomein dat elk element in het domein associeert met precies één element in het codomein. Een voorbeeld van een functie met domein {A, B, C} en codomein {1,2,3} associeert A met 1, B met 2 en C met 3.

Overzicht[bewerken]

Omdat functies zo veel worden gebruikt, zijn er vele tradities ontstaan rondom het gebruik ervan. Het symbool voor de input voor een functie wordt vaak de onafhankelijke variabele of het argument genoemd en wordt vaak weergegeven door de letter x of, als de input voor een bepaalde tijd staat, door de letter t. Het symbool voor de output wordt de afhankelijke variabele of functiewaarde genoemd en wordt vaak weergegeven door de letter y. De functie zelf wordt meestal f genoemd en dus geeft de notatie y=f(x) aan dat een functie met de naam f een x genaamde input en een y genaamde output heeft.

De verzameling van alle toegestane inputs voor een gegeven functie wordt het domein van de functie genoemd. De verzameling van alle daaruit resulterende outputs is het beeld van dit domein door de functie en wordt het bereik van de functie genoemd. Het bereik is vaak een deelverzameling van een grotere verzameling, die het codomein van een functie wordt genoemd. Zo zou de functie f(x) =x2 bijvoorbeeld als domein de verzameling van alle reële getallen kunnen hebben, als haar beeld de verzameling van alle niet-negatieve reële getallen kunnen hebben, en als haar codomein de verzameling van alle reële getallen kunnen hebben. In dat geval zouden we f kunnen beschrijven als een reëel-gewaardeerde functie van een reële veranderlijke. Vooral in de wereld van de informatica verwijst de term "bereik" soms naar het codomein in plaats van naar het beeld. Gezien de veranderlijke betekenis van de begrippen naar gelang de context, dient men de begrippen met zorg te gebruiken.

Definitie[bewerken]

Een functie f is een relatie tussen twee verzamelingen X en Y, met de eigenschap dat aan ieder element a uit X precies één element b uit Y wordt gekoppeld.

Men noteert de functie als f: X → Y en het unieke element y uit Y dat door f aan het element x uit X wordt toegevoegd als y = f(x). Het getal x wordt een origineel genoemd en het getal f(x) de functiewaarde in het punt a. De verzameling X heet het domein (of definitiegebied) van f; de verzameling Y wordt wel het codomein genoemd. Met het bereik f(X) van f wordt de deelverzameling van Y aangeduid die bestaat uit de beelden van de elementen van X.

Funcao venn.png

Een volgens de verzamelingenleer precieze definitie van een functie is dat deze bestaat uit een geordend drietal verzamelingen, dat kan worden geschreven als (X,Y,F). Hierbij is X het domein van de functie, Y is het codomein, en F is een verzameling van geordende paren. In elk van deze geordende paren (a,b) komt het eerste element a uit het domein, komt het tweede element b uit het codomein, en is elk element uit het domein het eerste element in precies één geordend paar. De verzameling van alle b's staat bekend als het bereik van de functie.

De notatie f: X → Y geeft aan dat f een functie is met domein X en codomein Y. In de meeste praktische situaties kan men het uit de context begrijpen wat het domein en codomein zijn, en wordt alleen de relatie tussen input en output gegeven. Dus wordt

\left( \mathbb{R}, \mathbb{R}, \left\{ \left( x, x^2\right) : x \in \mathbb{R} \right\} \right)

meestal geschreven als

y = x^2.\

De grafiek van een functie is haar verzameling van geordende paren.

Een dergelijke verzameling (grafiek) kan worden uitgezet op een tweetal coördinaatassen; de horizontale as bevat meestal de elementen uit het domein X en de verticale as bevat de elementen uit het bereik Y.

Twee voorbeelden van functies zijn

  • Het benzineverbruik van een auto hangt af van de snelheid waarmee gereden wordt. Voor een bepaald type auto is onder standaardcondities van weg en weersomstandigheden, het benzineverbruik een (partiële) functie van de snelheid. Omdat niet gespecificeerd is welke waarden van de snelheid beschouwd worden, weten we niet of het benzineverbruik voor al deze waarden bekend is. Mogelijk kan de auto sommige snelheden niet eens bereiken.
  • De functie f : R\{0} → R, gegeven door het voorschrift f(x)=|1/x| verbindt ieder reëel getal ongelijk aan 0 met de absolute waarde van zijn inverse. Het domein wordt hier gevormd door alle reële getallen behalve 0, het codomein door alle reële getallen en het bereik is gelijk aan alle reële getallen die groter dan 0 zijn.

Definitie als partiële functie[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie partiële functie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een (partiële) functie f is een relatie tussen twee verzamelingen A en B met de eigenschap dat aan ieder element a uit A hoogstens één element uit B wordt gekoppeld.

Opmerking: een dergelijke relatie wordt ook wel eens een 'functionele relatie' genoemd.

Het is voor een partiële functie dus mogelijk dat elementen van de verzameling A geen functiewaarde hebben. Dat is in het algemeen slechts van geringe, formele betekenis, aangezien men in praktische gevallen voornamelijk geïnteresseerd is in de argumenten waarvoor wel een functiewaarde bestaat. Men moet echter goed opletten niet een functiewaarde te willen berekenen voor een argument waarvoor de functie niet gedefinieerd is.

Vocabulaire[bewerken]

Een specifieke input in een functie wordt een argument of het origineel van de functie genoemd. Voor elk argument x wordt de corresponderende bijbehorende unieke y in het codomein de functiewaarde op x, de output van ƒ voor een argument x, of de afbeelding van x onder ƒ genoemd. Het beeld van x kan als ƒ(x) of als y worden geschreven.

De grafiek van een functie ƒ is de verzameling van alle geordende paren (x, ƒx)), voor alle x in het domein X. Als X en Y deelverzamelingen van R, de reële getallen zijn, dan valt deze definitie samen met de vertrouwde voorstelling van "grafiek" als een afbeelding of plot van de functie, waar de geordende paren de Cartesische coördinaten van de punten zijn.

Een functie kan ook wel een beeld of een afbeelding worden genoemd. Sommige auteurs gebruiken de termen "functie" en "afbeelding" om naar verschillende soorten functies te verwijzen. Andere specifieke types functies zijn de functionalen en operatoren.

Geschiedenis[bewerken]

Functiebegrip voor Leibniz[bewerken]

In de geschiedenis zijn sommige wiskundigen dicht in de buurt gekomen van een moderne formulering van het concept van een functie. Onder hen is Oresme (1323-1382). . . In zijn theorie lijken een aantal algemene ideeën over onafhankelijke en afhankelijke variabele grootheden aanwezig te zijn.[1][2]

Ponte merkt verder op dat "De opkomst van een notie van de functie als een geïndividualiseerde wiskundige entiteit getraceerd kan worden tot het begin van de infinitesimaalrekening".[1]

Leibniz[bewerken]

Het woord ‘functio’ werd voor het eerst gebruikt door Leibniz in 1673 in zijn manuscript “Methodus tangentium inversa, seu de functionibus” en is etymologisch afgeleid van het Latijnse werkwoord fungor (ik voer een taak uit). Leibniz beschouwde een functie als een grootheid verbonden met een kromme, die ten opzichte van de kromme een bepaalde taak uitvoert, ofwel, een ‘wiskundige taak’.

Bernouilli[bewerken]

In 1718 definieerde de van oorsprong Zwitserse wiskundige Johann Bernoulli een functie als

Aanhalingsteken openen

"[On appelle fonction] d'une grandeur variable une quantité composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur variable et de constantes."

Aanhalingsteken sluiten

en maakte hij gebruik van een notatie voor een functie waarbij hij X schreef voor een grootheid die van x afhankelijk is, en daarnaast nog een aantal boven de X, indien er sprake was van meer variabelen die van x afhankelijk zijn.

Euler[bewerken]

De definitie van Euler uit 1748 stelde:

Aanhalingsteken openen

Eine Function einer veränderlichen Zahlgrösse ist ein analytischer Ausdruck, der auf irgend eine Weise aus der veränderlichen Zahlgrösse und aus eigentlichen Zahlen oder aus constanten Zahlgröossen zusammengestellt ist.

Aanhalingsteken sluiten

.

Deze definitie verschilt dus niet wezenlijk van die van Bernoulli uit 1718. Echter, de definitie die Euler in 1755 aan het begrip functie gaf, verschilde vrijwel compleet. Hij schreef:

Aanhalingsteken openen

If some quantities so depend on other quantities that if the latter are changed the former undergo change, then the former quantities are called functions of the latter. This denomination is of broadest nature and comprises every method by means of which one quantity could be determined by others. If therefore, x denotes a variable quantity, then all quantities which depend upon x in any way or are determined by it are called functions of it.

Aanhalingsteken sluiten

Dirichlet[bewerken]

De moderne, formele definitie van een functie, die dateert uit de 19e eeuw, hebben we we te danken aan Johann Dirichlet.

Soorten functies[bewerken]

Net als bij afbeeldingen zijn er injectieve, surjectieve en bijectieve functies en bestaat er voor een bijectieve functie een inverse.

Identiteitsfunctie[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Identiteitsfunctie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De unieke functie over een verzameling X, die elk element op zichzelf afbeeldt, wordt wel de identiteitsfunctie voor X genoemd. De identiteitsfunctie wordt meestal aangeduid met id X. Elke verzameling heeft haar eigen identiteitsfunctie, zodat het onderschrift niet kan worden weggelaten, tenzij de verzameling waar het om gaat uit de context kan worden afgeleid. Onder functiecompositie is een identiteitsfunctie "neutraal": indien ƒ enige functie van X naar Y is, dan geldt

\begin{align}
 f \circ \mathrm{id}_X &= f , \\
 \mathrm{id}_Y \circ f &= f .
\end{align}

Inverse functie[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Inverse functie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als ƒ een functie van X naar Y is dan is een inverse functie voor ƒ, aangeduid met ƒ-1,een functie in de tegengestelde richting, van Y naar X, met de eigenschap dat bij functiecompositie elk element weer op zichzelf wordt afgebeeld. Niet elke functie heeft een inverse; functie die dat wel hebben worden inverteerbaar genoemd. De inverse functie bestaat dan en slechts dan als ƒ een bijectie is.

Een eenvoudig voorbeeld van een inverse functie; als ƒ een temperatuur van graden Celsius C naar graden Fahrenheit F converteert, zou de functie die graden Fahrenheit terugconverteert naar graden Celsius een geschikte ƒ-1 zijn.

\begin{align}
 f(C) &= \frac {9}{5} C + 32 \\
 f^{-1}(F) &= \frac {5}{9} (F - 32)
\end{align}

De notatie voor functiesamenstelling is vergelijkbaar met vermenigvuldiging; in feite wordt functiesamenstelling soms aangeduid met behulp van nevenschikking, gƒ, zonder tussenkomst van een cirkel. Met deze analogie zijn identiteitsfuncties vergelijkbaar met de multiplicatieve identiteit, 1, en zijn inverse functies vergelijkbaar met omgekeerden (vandaar de notatie).

Voor functies die injecties of surjecties zijn kunnen veralgemeende inverse functies worden gedefinieerd, die respectievelijk de linker- en rechterinverse worden genoemd. Linkerinversen beelden op de identiteitsfunctie af, wanneer zij links zijn samengesteld; rechterinversen, wanneer zij rechts zijn samengesteld.

Zie ook[bewerken]

     

Voetnoten[bewerken]

  1. a b De geschiedenis van het functieconcept in de wiskunde J.P. Ponte, 1992
  2. Een andere korte maar nuttige geschiedenis is te vinden in Eves (1990), blz. 234-235