Bereik (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is het bereik van een functie de verzameling van alle functiewaarden. Het bereik wordt soms ook het beeld, of meer precies, het beeld van het domein van de functie genoemd.

Het begrip bereik wordt ook wel gebruikt om het verschil aan te geven tussen de kleinste en de grootste getallen in een verzameling, waar alle elementen reële getallen zijn. Als een functie een surjectie is, dan is het bereik van deze functie gelijk aan het codomein van deze functie.

Wanneer een functie wordt weergegeven in een tweedimensionaal cartesisch coördinatensysteem, wordt het bereik weergegeven op de ordinaat (dat wil zeggen op de y-as).

Voorbeelden[bewerken]

Laat f een functie zijn op de reële getallen f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, die gedefinieerd wordt door f(x) = 2x. Deze functie neemt als invoer enig reëel getal en vermenigvuldigt dit met twee. Vermenigvuldigen met enig reëel getal kan elk willekeurig reëel getal opleveren, f(x) kan daarom elk willekeurig reëel getal zijn, wat wil zeggen dat het bereik van f gelijk is (-∞, ∞).

In andere gevallen kan het bereik beperkt worden door het domein van de functie. Beschouw de functie g zodat g\colon \mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}, g(x) = 2x. Aangezien het codomein gelijk is aan \mathbb{R}, is elk willekeurig reëel getal een toegestane waarde voor g(x). Het domein van g is echter gelijk aan \mathbb{R}^+, waardoor de invoer voor g altijd een reëel getal groter dan nul moet zijn. Het vermenigvuldigen van elk positief reëel getal met twee zal altijd een ander positief reëel getal opleveren, het bereik van g is dus [0, ∞). Merk op dat het bereik van de functie niet gelijk is aan haar codomein, hoewel het bereik wel een deelverzameling is van het codomein.

Het bereik kan ook worden beperkt door de definitie van de functie. Beschouw de functie h zodat h\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, h(x) = x^2. Hier is de invoerwaarde wederom enig reëel getal, hoewel kwadrateren van enige reëel getal nooit een negatief getal zal opleveren, en dus kan de output van h elk niet-negatief getal zijn (dat is inclusief nul), waardoor het bereik dus [0, ∞) is.

Zie ook[bewerken]