Afbeelding (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Standaardnotatie voor "α beeldt x op y af".

In de wiskunde is het begrip afbeelding de verzamelingtheoretische interpretatie van het begrip functie. Omdat afbeeldingen gedefinieerd kunnen worden voor willekeurige verzamelingen, kan het begrip afbeelding ook gezien worden als een generalisatie van het begrip functie, dat gewoonlijk zo gedefinieerd is dat een functie altijd getallen als resultaat heeft.

Informeel gesproken is een afbeelding een voorschrift dat aan ieder element van een verzameling een element uit een (andere) verzameling toevoegt. Zo'n toevoeging laat zien hoe sommige elementen uit een verzameling afhankelijk zijn van de elementen uit een andere (of dezelfde) verzameling. Omdat de wiskunde onder andere zulke afhankelijkheden onderzoekt, is een afbeelding een belangrijk basisbegrip.

Definitie[bewerken]

Meestal wordt een afbeelding gedefinieerd als een functionele tweeplaatsige relatie. Dat wil zeggen dat een afbeelding gedefinieerd is als een 3-tupel (G, A, B) waarbij A en B willekeurige verzamelingen zijn en

  1. G ⊆ A × B
  2. (functionaliteit) Voor alle a ∈ A en b1b2 ∈ B geldt: als (a, b1) ∈ G en (a, b2) ∈ G dan b1 = b2.

Voorwaarde 1 betekent dat G een deelverzameling is van het Cartesisch product van A en B, en voorwaarde 2 betekent informeel dat alle elementen uit A aan ten hoogste één element uit B gekoppeld zijn.

De volgorde van de leden van het 3-tupel in de definitie kan variëren. Soms wordt een afbeelding bijvoorbeeld gedefinieerd als het 3-tupel (A, B, G) in plaats van (G, A, B).

Soms wordt een afbeelding simpelweg gedefinieerd als een verzameling geordende paren, overeenkomstig met de G uit de eerste definitie, waarbij voor alle paren (a, b) en (c, d) geldt dat als a = c dan b = d. Uit welke verzamelingen de leden van de geordende paren komen, moet in dat geval expliciet genoemd worden of uit de context blijken. Strikt genomen wordt in dit geval niet het begrip afbeelding gedefinieerd, maar het begrip afbeelding van ... naar ..., omdat een verzameling paren enkel een afbeelding is in de context van de verzamelingen waaruit de leden van de paren komen.[1] De verzameling { (1, 2), (2, 3), ... } is bijvoorbeeld wel een afbeelding van N naar N, maar niet een afbeelding van N naar de verzameling van meetkundige figuren. Deze verzameling is, met andere woorden, niet een afbeelding zonder meer.

Het belangrijkste verschil tussen deze definities komt aan het licht wanneer afbeeldingen op gelijkheid getoetst worden. Neem de afbeeldingen α = (G, X, Y) en β = (G, X, Z), waarbij Y ≠ Z. Het is evident dat in dit geval α ≠ β, hoewel de verzameling geordende paren G in beide afbeeldingen hetzelfde is. Onder de tweede definitie zouden dezelfde afbeeldingen echter als volgt gedefinieerd worden: α = G en β = G, waaruit volgt dat α = β.

Terminologie[bewerken]

Als α = (G, A, B) een afbeelding is dan wordt G de grafiek van α genoemd. A wordt het domein van α genoemd en B wordt het codomein van α genoemd. Men zegt ook dat α een afbeelding van A naar B is.

Als (a, b) ∈ G dan zegt men dat het toepassen van α op a als resultaat b heeft of dat a door α op b afgebeeld wordt. Hierbij heet b het beeld van a onder α. Soms wordt van "α-beeld" of simpelweg "beeld" gesproken. Dit laatste enkel wanneer uit de context duidelijk is welke afbeelding bedoeld wordt.

Het beeld van deelverzamelingen van het domein, in plaats van elementen uit het domein, is ook gedefinieerd. Als X ⊆ A, dan is

b |  er is een x ∈ X zodanig dat (x, b) ∈ G }

het beeld van de verzameling X. Met "α beeldt X op Y af" wordt ook in het geval van verzamelingen X en Y bedoeld dat Y het beeld van X is.

Als b ∈ B, dan is

a |  (a, b) ∈ G }

het origineel van b onder α. Soms wordt van "α-origineel" of simpelweg "origineel" gesproken. Parallel aan de definitie van "beeld", is het origineel niet alleen op elementen uit het codomein, maar ook op deelverzamelingen van het codomein gedefinieerd. Als Y ⊆ B, dan is

a |  er is een y ∈ Y zodanig dat (a, y) ∈ G }

het origineel van Y.

De verzameling van alle elementen uit het domein die door α op een element uit het codomein afgebeeld worden,

a |  er is een b ∈ B zodanig dat (a, b) ∈ G },

heet het definitiegebied van α. De elementen uit het definitiegebied worden de argumenten of originelen van α genoemd. Als a een argument van α is, dan zegt met dat α is gedefinieerd op a. Soms wordt "domein" gedefinieerd als het definitiegebied in plaats van als de verzameling A.

De verzameling van alle elementen uit het codomein die een beeld zijn van een element uit het domein,

b |  er is een a ∈ A zodanig dat (a, b) ∈ G },

heet de beeldverzameling of het bereik van α. Met "bereik" wordt soms echter ook het codomein bedoeld.

Merk op dat het beeld van het definitiegebied (en van het domein) de beeldverzameling van α is en dat het origineel van de beeldverzameling (en van het codomein) het definitiegebied van α is.

Notatie[bewerken]

Voor iedere afbeelding α geldt het volgende:

  • Het domein van α wordt genoteerd als dom α.
  • Het codomein van α wordt genoteerd als codom α.
  • Als x een argument van α is, dan wordt het beeld van x onder α genoteerd als α(x) of α x.
  • Als X ⊆ dom α dan wordt het beeld van X onder α genoteerd als α(X) of α X.
  • Als Y ⊆ codom α dan wordt het origineel van Y onder α genoteerd als α−1(Y) of α−1 Y.
  • Als y ∈ codom α dan wordt voor het origineel van y onder α vaak de notatie α−1(y) gebruikt, als afkorting van α−1({y}), maar daarmee kan, in het geval van injectieve afbeeldingen, ook het inverse beeld van y onder α bedoeld worden.
  • De uitspraak "α is een afbeelding van X naar Y" wordt genoteerd als α : X → Y. Dit betekent dat X het domein van α is en Y het codomein van α.
  • De uitspraak "α beeldt x op y af" wordt genoteerd als α : x ↦ y. Als x een ongebonden variabele is, dan betekent dit dat { (a, y[xa]) |  a ∈ dom α en y[xa] ∈ codom α } ⊆ G, waarbij G de grafiek van α is en y[xa] het resultaat is van uniforme substitutie van x door a in y. Deze notatie wordt vaak gebruikt om de grafiek van een afbeelding mee te definiëren. ƒ : x ↦ x + 1 betekent bijvoorbeeld dat { (a, a + 1) |  a ∈ dom ƒ en a + 1 ∈ codom ƒ } de grafiek van ƒ is. Hierbij wordt impliciet gelaten dat het in dit geval dus gaat om de kleinste grafiek van ƒ zodanig dat ƒ : x ↦ x + 1.
  • In plaats van "α : X → Y en α : x ↦ y" wordt soms "α : X → Y : x ↦ y" geschreven.

Voorbeeld[bewerken]

Ieder mens heeft een moeder. We kunnen aan elk mens zijn of haar moeder toevoegen. Zo ontstaat een afbeelding, die we met M zullen aanduiden, die aan een mens zijn of haar moeder toevoegt. We noteren dit als

M: H \to V,\ \ h \mapsto \text{moeder van } h,

waarin H alle mensen bevat en V alle vrouwen. We schrijven M(h) voor 'de moeder van h', Zo is bijvoorbeeld Maria =M(Jezus), Helena =M(Alexander) en Juliana =M(Beatrix), Juliana =M(Irene), Juliana =M(Margriet), Juliana =M(Christina). We kunnen een plaatje maken van deze afbeelding:

V ...
Juliana X X X X
Beatrix
Irene
Margriet
Christina
Helena X
Maria X
...
... Jezus Alexander Beatrix Irene Margriet Christina ...
H

Met een X geven we toevoegingen aan. Daaruit zien we dat de afbeelding eigenlijk bepaald wordt door alle koppels (h,M(h)) voorh \in H. Die koppels die de afbeelding betreffen, zijn een deel van alle koppels, dwz. van het cartesisch product H\times V van H en V. Zo'n deelverzameling wordt in de wiskunde een relatie (tussen H en V genoemd. Bij de afbeelding "moeder van" is er bij een mens h altijd maar één vrouw in V die toegevoegd wordt aan h. Die eigenschap geldt voor elke afbeelding. Een afbeelding is dus een speciale relatie. Een afbeelding kan zo formeel gedefinieerd worden in bekende termen uit de verzamelingenleer, zonder dat gebruikgemaakt wordt van termen als "voorschrift" en "toevoegen", die in de wiskunde (nog) geen betekenis hebben.

Meerplaatsige afbeeldingen[bewerken]

Een meerplaatsige afbeelding is, informeel gesproken, een afbeelding die meer dan één argument nodig heeft om zijn resultaat te bepalen. Een tweeplaatsige afbeelding neemt twee argumenten, een drieplaatsige afbeelding neemt er drie, enzovoort. Een nulplaatsige afbeelding is een constante. Formeel is een n-plaatsige afbeelding een afbeelding waarvan het domein een n-dimensionaal Cartesisch product is. De afbeelding α : A × B × C → D is bijvoorbeeld drieplaatsig. Meerplaatsige afbeeldingen zijn dus speciale gevallen van afbeeldingen in het algemeen en dat een afbeelding n-plaatsig is, wil enkel zeggen dat zijn argumenten n-tupels zijn.

Als α een tweeplaatsige afbeelding is en het tupel (a, b) een argument van α is, dan wordt het beeld van (a, b) onder α genoteerd als α(a, b) of αab. In dit geval worden naast het tupel (a, b) de elementen a en b ook argumenten van α genoemd. Hetzelfde geldt uiteraard voor n-plaatsige afbeeldingen. Verder wordt niet alleen het Cartesisch product waarover de meerplaatsige afbeelding is gedefinieerd het domein genoemd, maar soms ook de verzamelingen waarvan het Cartesisch product is genomen. Als α : A × B → C een tweeplaatsige afbeelding is, dan worden A en B bijvoorbeeld de domeinen van α genoemd. De overige terminologie past zich hierop aan. Men kan bijvoorbeeld zeggen dat α een tweeplaatsige afbeelding over A en B is.

Eigenschappen van afbeeldingen[bewerken]

We beschouwen een willekeurige afbeelding α : A → B.

  • α is volledig desda α op alle elementen uit het domein gedefinieerd is. Dat wil zeggen dat er voor alle a ∈ A een b ∈ B is zodanig dat b = α(a). Het definitiegebied van een volledige afbeelding is gelijk aan zijn domein: α−1(B) = A. Als α niet volledig is dan is α een partiële afbeelding. Soms wordt "partiële afbeelding" ook zo gedefinieerd dat alle afbeeldingen partieel genoemd kunnen worden en een volledige afbeelding een speciaal geval van een partiële afbeelding is.
  • α is surjectief desda alle elementen uit het codomein een beeld zijn van een element in het domein. Dat wil zeggen dat er voor alle b ∈ B een a ∈ A is zodanig dat b = α(a). Het bereik van een surjectieve afbeelding is gelijk aan zijn codomein: α(A) = B.
  • α is injectief desda geen twee verschillende elementen uit het domein hetzelfde beeld hebben. Dat wil zeggen dat voor alle a1a2 ∈ A en b ∈ B geldt: als α(a1) = b en α(a2) = b dan a1 = a2. De combinatie van injectiviteit en functionaliteit wordt ook wel één-éénduidigheid genoemd. Omdat afbeeldingen per definitie functioneel zijn, zijn alle injectieve afbeeldingen één-éénduidig. Een injectieve afbeelding wordt soms een één-op-één-afbeelding genoemd.
  • α is bijectief desda α volledig, surjectief en injectief is. Een bijectieve afbeelding wordt soms een één-op-één-correspondentie genoemd.

Als er op zowel A als B een topologie gedefinieerd is, dan is ook de volgende eigenschap van α gedefinieerd:

  • α is continu desda het origineel van elke open deelverzameling van het codomein een open deelverzameling van het domein is. Dat wil zeggen dat voor elke Y ⊆ B geldt: als Y open in B is, dan is α−1(Y) open in A.

Deze eigenschappen zijn ook op meerplaatsige afbeeldingen gedefinieerd, waarbij met "domein" het volledige Cartesische product bedoeld wordt. Een drieplaatsige afbeelding α : A × B × C → D is bijvoorbeeld volledig desda er voor alle (a, b, c) ∈ A × B × C een d ∈ D is zodanig dat d = α(a, b, c).

Operaties op afbeeldingen[bewerken]

Restrictie en extensie[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie ook: Restrictie

Gegeven een willekeurige afbeelding α : A → B en een deelverzameling van het domein X ⊆ A is

β : X → B
β : x ↦ α(x)

de restrictie van α tot X.[2] Informeel gesproken is de restrictie van een afbeelding het resultaat van het inperken van zijn domein.

Als β een restrictie van α is, dan is α een extensie van β.

Compositie of samenstelling[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie ook: Functie-compositie

Gegeven twee willekeurige afbeeldingen α : A → B en β : B → C is

β ∘ α : A → C
β ∘ α : a ↦ β(α(a))

de compositie of samenstelling van α en β.[3] Informeel betekent c = (β ∘ α)(a) dat c het resultaat is wanneer eerst α op a wordt toegepast, en op het resultaat daarvan β wordt toegepast.

Voor alle afbeeldingen α : A → B, β : B → C en γ : C → D geldt dat

(associativiteit) (γ ∘ β) ∘ α = γ ∘ (β ∘ α).

Daarom wordt meestal simpelweg γ ∘ β ∘ α geschreven in plaats van (γ ∘ β) ∘ α of γ ∘ (β ∘ α).

Inverse[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie ook: Inverse

Als α = (G, A, B) een injectieve afbeelding is, dan is α−1 = (Ginv, B, A) de inverse van α, waarbij Ginv = { (b, a) |  (a, b) ∈ G }.

Als α een volledige afbeelding is dan kan, ter definitie, ook geschreven worden dat α−1 : B → A de inverse van α is, waarbij voor alle a ∈ A en b ∈ B geldt dat

α−1 : b ↦ a desda b = α(a).[4]

De inverse van α beeldt ieder element uit de beeldverzameling van α af op het element (uit het definitiegebied van α) waarvan het een beeld is. Met andere woorden, als α x op y afbeeldt, dan beeldt α−1 y op x af.

Als a = α−1(b) dan wordt a het inverse beeld van b genoemd. Soms wordt hier ook op ambigue wijze van "het origineel van b" gesproken, wat daarmee dan zowel de betekenis a als {a} krijgt.

Wanneer enkel volledige afbeeldingen beschouwd worden, moet een afbeelding bijectief zijn om een (volledige) inverse te hebben.

Gegeven een injectieve afbeelding α:

  • Het definitiegebied van α−1 is de beeldverzameling van α.
  • De beeldverzameling van α−1 is het definitiegebied van α.
  • Als α volledig is, dan is α−1 surjectief.
  • Als α surjectief is, dan is α−1 volledig.
  • α−1 is injectief (omdat α functioneel is).
  • Als α bijectief is, dan is α−1 ook bijectief.
  • (α−1)−1 = α.

Identiteitsafbeelding[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie ook: Identiteitsfunctie

Op iedere verzameling is een afbeelding te definiëren die alle elementen uit die verzameling op zichzelf afbeeldt. Deze afbeelding heet de identiteitsafbeelding van die verzameling. De formele definitie luidt:

Voor een willekeurige verzameling A is de afbeelding

idA : A → A
idA : a ↦ a

de identiteitsafbeelding van A.

De identiteitsafbeelding is altijd bijectief.

Voor iedere afbeelding α : A → B geldt:

  • α ∘ idA = α,
  • idB ∘ α = α.

Voor iedere injectieve afbeelding α : A → B geldt:

  • als α volledig is, dan α−1 ∘ α = idA,
  • als α surjectief is, dan α ∘ α−1 = idB.

Karakteristieke afbeelding[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie ook: Karakteristieke functie

Voor iedere verzameling A is een afbeelding te definiëren die voor alle elementen uit het universum (dat wil zeggen de verzameling van alle elementen waarover gesproken kan worden) aangeeft of ze al dan niet tot de verzameling A behoren. Deze afbeelding wordt de karakteristieke afbeelding van A genoemd en beeldt ieder element uit het universum af op een waarheidswaarde (waar of onwaar).

Als A ⊆ U dan is

IA : U → {waaronwaar}
IA : x ↦ waar als x ∈ A
IA : x ↦ onwaar als x ∉ A

de karakteristieke afbeelding van A. Alternatieve notaties voor de karakteristieke afbeelding van A zijn 1A, χA of simpelweg A. Met Iverson-haakjes kan de karakteristieke afbeelding van A genoteerd worden als [x ∈ A].

In plaats van de waarheidswaarden waar en onwaar worden vaak de getallen 1 en 0 gebruikt, waarbij 1 de rol van waar vervult en 0 de rol van onwaar.

IA identificeert of karakteriseert de verzameling A doordat IA(x) = waar desda x ∈ A.[5]

Operatie[bewerken]

In sommige contexten wordt een afbeelding een operatie genoemd. Een operatie is dus hetzelfde als een afbeelding. Meestal —  maar niet altijd —  impliceert het gebruik van het woord "operatie" echter dat het domein en het codomein dezelfde verzamelingen zijn of, in het geval van n-plaatsige operaties, dat het domein een n-dimensionaal Cartesisch product van het codomein is. (Bijvoorbeeld ω : A × A × A → A voor een drieplaatsige operatie ω.)

Het symbool waarmee een operatie aangeduid wordt, heet de operator en de argumenten van een operatie worden operanden genoemd. Bij tweeplaatsige operaties wordt de operator gewoonlijk tussen de operanden in geschreven. Dit heet infixnotatie. Met name bij tweeplaatsige operaties heeft de term "operatie" ook een algebraïsche connotatie. Men spreekt bijvoorbeeld van associatieve en commutatieve operaties of definieert op algebraïsche wijze equivalentie tussen uitdrukkingen met bepaalde operaties erin.

Optelling is een voorbeeld van een operatie op getallen. Deze operatie wordt doorgaans als tweeplaatsige operatie gedefinieerd en de gebruikelijke operator + wordt normaal gesproken dan ook tussen de operanden in geschreven.

In dit artikel staan ook enkele voorbeelden beschreven van operaties op afbeeldingen. Zo is compositie een tweeplaatsige operatie op afbeeldingen, met ∘ als operator. Het nemen van de inverse is een eenplaatsige operatie op afbeeldingen en heeft −1 als operator, die in suffixnotatie geschreven wordt.

Volledige afbeelding[bewerken]

Het komt veel voor dat alleen volledige afbeeldingen beschouwd worden en het wenselijk geacht wordt dat afbeelding als zodanig gedefinieerd wordt. Vaak wordt dan een extra voorwaarde aan de definitie toegevoegd, wat de volgende definitie oplevert.

Voor willekeurige verzamelingen A en B is α = (G, A, B) een afbeelding desda:

  1. G ⊆ A × B
  2. (functionaliteit) Voor alle a ∈ A en b1b2 ∈ B geldt: als (a, b1) ∈ G en (a, b2) ∈ G dan b1 = b2
  3. (volledigheid) Voor alle a ∈ A is er een b ∈ B zodanig dat (a, b) ∈ G.

Een ander gangbaar alternatief is de volgende definitie.

Voor een willekeurige verzameling B is α = (G, B) een afbeelding desda:

  1. G is een willekeurige verzameling geordende paren, waarbij voor alle (a, b) ∈ G geldt dat b ∈ B
  2. (functionaliteit) Voor alle (a1, b1) ∈ G en (a2, b2) ∈ G geldt: als a1 = a2 dan b1 = b2.

Onder deze definitie is het vervolgens gebruikelijk om het domein te definiëren als de verzameling van alle punten waarop de afbeelding gedefinieerd is: dom α = { a |  er is een b ∈ B zodanig dat (a, b) ∈ G }. Daarmee is de afbeelding per definitie op alle elementen uit het domein gedefinieerd en dus volledig. "Definitiegebied" en "domein" zijn in deze lezing synoniem. Wanneer het domein aldus gedefinieerd wordt, moet expliciet genoemd worden of uit de context blijken uit welke verzameling de linker leden van de paren in G komen.

Onder beide definities is het niet mogelijk om van een partiële afbeelding te spreken, aangezien afbeeldingen per definitie volledig zijn. Meestal wordt dit opgelost door partiële afbeelding apart te definiëren, op ongeveer dezelfde wijze als afbeelding in dit artikel gedefinieerd is. In dat geval is een afbeelding dus een specifiek geval van een partiële afbeelding, in plaats van andersom, en is het zinnig om van een volledige partiële afbeelding te spreken. Partiële afbeelding kan ook in engere zin gedefinieerd worden, zodanig dat partiële afbeeldingen per definitie niet volledig zijn en de begrippen (volledige) afbeelding en partiële afbeelding dus disjunct zijn. In dat geval is er echter geen intuïtieve overkoepelende term die zowel partiële als volledige afbeeldingen omvat.[6]

De overige begrippen en notaties worden onder deze definities, mutatis mutandis, op dezelfde manier gedefinieerd als eerder in dit artikel. Ook kan de volgorde van de leden van het tupel in de laatste definitie, net als het 3-tupel bij de eerdere definities, afwijken. Soms wordt de afbeelding als het tupel (B, G) gedefinieerd, in plaats van als het tupel (G, B).

Een andere in de literatuur gebruikte manier om het onderwerp te beperken tot volledige afbeeldingen, is door een zin toe te voegen als:

Met "afbeelding" zal een volledige afbeelding bedoeld worden, tenzij uit de context anders blijkt.

Afbeeldingen kunnen dan in algemene, brede zin gedefinieerd worden, terwijl ze toch impliciet volledig zullen zijn. Desgewenst kan op deze manier over partiële afbeeldingen gesproken worden, door ze expliciet zo te noemen. Bovendien is een partiële afbeelding in dit geval een specifiek geval van een afbeelding, in plaats van andersom.

Afbeelding versus functie[bewerken]

Gewoonlijk onderscheidt de afbeelding zich van de functie doordat de afbeelding een fundamenteler (en jonger) begrip is. Functies zijn in deze lezing een speciaal soort afbeeldingen, namelijk afbeeldingen die getallen opleveren of, preciezer geformuleerd, afbeeldingen waarvan het codomein een lichaam (ook wel veld) is.

Vaak worden "functie" en "afbeelding" echter ook als synoniemen gebruikt. Meestal worden beide dan in verzamelingtheoretische termen gedefinieerd, min of meer gelijk aan de definitie in dit artikel.

Het komt ook voor dat "functie" en "afbeelding" niet synoniem zijn, maar dat de functie gedefinieerd wordt zoals de afbeelding in dit artikel en dat met "afbeelding" een specifiek soort functie bedoeld wordt. In deze lezing kan met "afbeelding" onder andere volledige functie, volledige en injectieve functie, lineaire functie of continue functie bedoeld worden. Dit gebruik van de woorden "functie" en "afbeelding" is vooral in de Angelsaksische literatuur gebruikelijk.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten

  1. Ook eigenschappen als volledigheid en surjectiviteit (zie Eigenschappen van afbeeldingen) zijn enkel te definiëren in deze context.
  2. α(x) is enkel voor alle x ∈ X gedefinieerd als X een deelverzameling van het definitiegebied van α is of, meer in het bijzonder, als α volledig is. Wanneer α niet voor alle x ∈ X gedefinieerd is, dan is de gegeven definitie van β niet zinnig. Een manier om de restrictie van α tot X te definiëren die wel in alle gevallen zinnig is, is als volgt. Als G de grafiek van de afbeelding α is, dan is β = (R, X, B) de restrictie van α tot X, waarbij R = G ∩ (X × B).
  3. β(α(a)) is enkel voor alle a ∈ A gedefinieerd als α volledig is en de beeldverzameling van α een deelverzameling van het definitiegebeid van β is of, meer in het bijzonder, als zowel α als β volledig zijn. Wanneer β(α(a)) niet voor alle a ∈ A gedefinieerd is, dan is de gegeven definitie niet zinnig. Een manier om de compositie van α en β te definiëren die wel in alle gevallen zinnig is, is als volgt. Als Gα de grafiek van α is en Gβ de grafiek van β, dan is β ∘ α = (G, A, C) de compositie of samenstelling van α en β, waarbij G = { (a, c) |  er is een b ∈ B zodanig dat (a, b) ∈ Gα en (b, c) ∈ Gβ }.
  4. Deze definitie is alleen zinnig als α volledig is, omdat anders α(a) niet voor alle a ∈ A gedefinieerd is.
  5. Merk op dat de uitdrukkingen "IA(x) = waar" en "IA(x)" logisch equivalent zijn en hier dus ook geschreven had kunnen worden dat IA(x) desda x ∈ A.
  6. "Functionele tweeplaatsige relatie" zou als overkoepelende term gebruikt kunnen worden, maar heeft door het woord "relatie" een andere connotatie.

Bronnen