Continue functie (analyse)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde wordt een functie continu genoemd als van originelen die bij elkaar in de buurt liggen, ook de beelden bij elkaar in de buurt liggen. Continue afbeeldingen zijn onderwerp van studie in bijvoorbeeld de analyse en de topologie.

Veel 'bekende' functies op de reële getallen, zoals x \mapsto xt voor t ≥ 0, de e-macht, sinus en cosinus, zijn continu. Ook zijn de som, het verschil en het product van twee continue functies weer continu. Er bestaan verschillende definities van het begrip continuïteit. De bekendste is de zogenaamde 'epsilon-delta'-definitie, die de bovenstaande populaire formulering precisieert.

Definitie[bewerken]

Analyse[bewerken]

Een functie f\colon \R \to \R heet continu in het punt a, als er voor elke ε > 0 een δ > 0 is, zodanig dat voor alle punten x, waarvoor |x-a|<\delta, die dus bij a in de buurt liggen, geldt dat |f(x)-f(a)|<\epsilon , wat inhoudt dat ook de beelden bij elkaar in de buurt liggen. De functie f heet continu, als dit geldt voor iedere a in het domein van f.

Een equivalente definitie is dat een functie f continu is in een punt a, als \lim_{x\to a}{f(x)}=f(a).

Meetkunde[bewerken]

Dit kan uitgebreid worden naar metrische ruimten: Als X en Y metrische ruimten zijn met metriek d_X respectievelijk d_Y en x is een punt in X, dan heet een functie f:X  → Y continu in x als er voor elke ε > 0 een δ > 0 is, zodanig dat het volgende geldt: als x' een punt van X is met d_X(x,x')<\delta, dan is d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon. Dit kan op een formelere manier ook opgeschreven worden als

\forall\;\epsilon>0\ \exists\;\delta>0\ \forall\;x'\in X:d_X(x,x')<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon.

Een functie heet continu op X, of kortweg continu, als hij continu is in elk punt van X.

Topologie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie continue functie (topologie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In de topologie wordt een afbeelding f: XY tussen twee topologische ruimten X en Y continu genoemd als voor elke open verzameling U van Y het volledig origineel f^{-1}(U) van U onder f open is in X. Er kan aangetoond worden dat voor metrische ruimten (die altijd ook topologische ruimten zijn) deze twee begrippen van continuïteit equivalent zijn.

Voorbeelden[bewerken]

Continu.PNG

De blauwe en de rode krommen zijn continu, de groene niet (er zijn sprongpunten).

Continue afgeleiden.PNG

De afgeleiden van bovenstaande krommen. Merk op dat, hoewel de rode kromme continu was, zijn eerste afgeleide niet continu is, er zijn twee sprongpunten in de afgeleide: punten waar de richtingscoëfficiënt in de kromme (zie bovenste figuur) plots verandert.

Intuïtie[bewerken]

Intuïtief wordt wel eens aangenomen dat een functie continu is indien de grafiek geen sprongen vertoont. Dit is echter niet waar. Een voorbeeld hiervan is de functie:

f:[0,2] \setminus \{1\} \mapsto \R gegeven door:
  • f(x)=-1 als x<1
  • f(x)=1 als x>1

Deze functie maakt duidelijk een sprong in 1 maar is continu. Dit is te verklaren doordat 1 niet in het domein van de functie ligt.

Uniforme continuïteit[bewerken]

Een functie f:A\subseteq \R \rightarrow \R is uniform continu indien voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat zodat voor elke a, x \in A geldt dat uit |x-a|<\delta volgt dat |f(x)-f(a)|<\epsilon.

Uniforme continuïteit is sterker dan gewone continuïteit, elke functie die uniform continu is is ook continu. Het omgekeerde geldt echter niet altijd. Beschouw weer de functie:

f:[0,2] \setminus \{1\} \mapsto \R gegeven door:
  • f(x)=-1 als x<1
  • f(x)=1 als x>1

Deze is continu maar niet uniform continu.

Stuksgewijze continuïteit[bewerken]

Als er een partitie bestaat waarvoor f uniform continu is in elk interval, dan is f stuksgewijze continu. Dit houdt niet noodzakelijk in dat f in die randpunten van de deelintervallen gedefinieerd is. Wegens de definitie van uniforme continuïteit kun je besluiten dat f uitbreidbaar is in de randpunten van de deelintervallen.

Een stuksgewijze continue functie kun je zien als een aaneenschakeling van continue functies in een gesloten interval.

In voorbeeld 1 hierboven is de groene functie een stuksgewijs continue functie.

Eigenschappen van continue functies[bewerken]

Bij de bewijzen van de volgende eigenschappen van continue functies is de stelling van de kleinste bovengrens nodig.

  • Elke functie die op een gesloten en begrensd interval continu is, is daar ook begrensd. De geslotenheid is hier van belang: de functie 1/x is op ]0, 1] wel continu maar niet begrensd.
  • Een functie die continu is op een bepaald interval en daar positieve en negatieve waarden aanneemt, heeft in dat interval ten minste één nulpunt. Een gevolg daarvan is:
  • Een functie f die op een gesloten interval [a, b] continu is en verschillende waarden aanneemt bij a en b, neemt op dat interval alle waarden tussen f(a) en f(b) aan.
  • Een continue functie beeldt compacte verzamelingen op compacte verzamelingen af.
  • Een continue functie beeldt samenhangende verzamelingen op samenhangende verzamelingen af.
  • Een functie die differentieerbaar is in het punt a, is ook continu in a; het omgekeerde geldt niet algemeen.

Bewijs voor continuïteit in geval van differentieerbaarheid[bewerken]

Stel dat de functie f differentieerbaar is in a. Dan is:

\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)+f(a)=f'(a)\cdot\lim_{x\to a}(x-a)+f(a)=f(a),

dus is f continu in a.