Optellen

Optellen met appels is een concrete manier om jonge kinderen kennis te laten maken met optellen.

Optellen is een van de basisoperaties uit de rekenkunde. Optellen is het combineren van verzamelingen van objecten tot een grotere verzameling. Het symbool voor optellen is het plusteken (+). In het plaatje hiernaast ziet men bijvoorbeeld 1 + 2 + 2 appels. Samengevoegd zijn dat vijf appels. Daarom is 1 + 2 + 2 = 5. Hierbij noemt men de getallen 1, 1 en 2 de termen. Het totaal, in ons voorbeeld 5, noemt men de som. Optellen is een rekenkundige bewerking van de eerste orde.

Behalve voor het tellen van fruit wordt optellen ook gebruikt voor het samenvoegen van andere fysieke en abstracte grootheden. Daarbij worden verschillende soorten getallen gebruikt: negatieve getallen, breuken, decimale getallen, irrationale getallen, vectoren en nog veel meer soorten getallen.

In zijn eenvoudigste vorm betekent optellen dat er startend van een begingetal een volgend aantal wordt bijgeteld. Dat houdt in dat er vanaf het begingetal, zeg 1, verder geteld wordt, tot dit volgende aantal, zeg 2, erbij is geteld. Een, twee, drie. Tellen we vanaf 1 dus 2 verder dan is de resultaat gelijk aan 3. Conclusie: 1 + 2 = 3, "1 plus 2 is 3". Dit resultaat 3 noemt men de som van de bij elkaar opgetelde getallen.

Bij het optellen van grote getallen is deze telmethode nogal omslachtig en ook tijdrovend. Probeer bijvoorbeeld maar eens om beginnend bij het getal 1 hier 99 bij op te tellen door vanaf 2 tot 100 te tellen (1 + 99 = 100). Om dit soort opgaven op een efficiëntere wijze uit te kunnen voeren leren kinderen optellingen met een som kleiner dan tien uit hun hoofd. Voor optellingen, waar de som van de optelling boven de tien uitkomt, leert men methoden om getallen op een meer systematische wijze bij elkaar op te tellen. Daarbij wordt gebruik gemaakt van de gewoonte om getallen in het decimale positiestelsel weer te geven.

Cijferend optellen

• 

  stap 1

• 

  stap 2

• 

  stap 3

Belangrijke eigenschappen

De volgorde waarin getallen worden opgeteld maakt niet uit. De som is altijd hetzelfde. De optelling is dus associatief en commutatief.

Als het getal nul wordt opgeteld bij een willekeurig getal, zal dat getal niet veranderen. Nul is het neutrale element voor de optelling.

De som van een getal en zijn tegengestelde is nul.

Notatie

Optellen van grote getallen

Voorbeeld van het klassieke cijferend optellen

Als alle termen van de optelling afzonderlijk worden uitgeschreven, wordt het optellen gesymboliseerd met het plusteken (+):

term + term = som

786 + 457 = 1243

Optellen kan herhaald worden uitgevoerd:

4 + 7 + 9 + 12 = 32.

Daarbij is de volgorde van optellen niet belangrijk.

Als de termen niet afzonderlijk worden uitgeschreven, wordt gebruikgemaakt van het sommatieteken, de hoofdletter sigma uit het Griekse alfabet

$\sum_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} + x_{m+1} + x_{m+2} + ... + x_{n-1} + x_{n}$.

De (dummy)variabele i heet sommatie-index en onder- en bovenschrift, de sommatiegrenzen, geven aan dat de index begint te tellen bij m en eindigt bij de waarde n. Zo is bijvoorbeeld:

$\sum_{i=2}^{6} i^{2} = 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} = 90$.

Ook optellingen van oneindig veel termen komen in de wiskunde voor; zij worden oneindige reeksen genoemd. De som van zo'n reeks (de reekssom) kan wel een eindige waarde hebben.

zie ook Einstein-sommatieconventie

Inverse van optellen

De inverse (tegengestelde) bewerking van optellen is aftrekken.

Zie ook: Rekenen