Hyperbolische functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De hyperbolische functies: sinh, cosh en tanh
Een rechte lijn door de oorsprong snijdt de hyperbool x2 - y2 = 1 in het punt ( cosh(a), sinh(a) ), waarbij de hyperboolhoek a het oppervlak is tussen de rechte lijn, het spiegelbeeld van de rechte lijn ten opzichte van de x-as, en de hyperbool (zie de animatie voor een vergelijking met de goniometrische functies).

In de wiskunde wordt gebruikgemaakt van een aantal hyperbolische functies, de zes meest voorkomende zijn:

  • Cosinus hyperbolicus (cosh)
  • Sinus hyperbolicus (sinh)
  • Tangens hyperbolicus (tanh)
  • Cotangens hyperbolicus (coth)
  • Secans hyperbolicus (sech)
  • Cosecans hyperbolicus (csch)

Er is een sterke analogie tussen de hyperbolische en de goniometrische functies, wat de namen verklaart.

Verder hebben hyperbolische en goniometrische functies vergelijkbare somformules. Net zoals bij de goniometrische functies bestaan er inverse hyperbolische functies. De inverse van de sinus hyperbolicus wordt genoteerd als arcsinh (lees: arcsinus hyperbolicus).

De hyperbolische functies houden verband met de hyperbool op een vergelijkbare manier als de goniometrische functies verband houden met de cirkel. Net zoals de punten A = (cos(a),sin(a)) de eenheidscirkel vormen, vormen de punten B = (cosh(t),sinh(t)) een hyperbool. De variabele t wordt de hyperboolhoek genoemd.

Definitie[bewerken]

De cosinus hyperbolicus ("cosh") en sinus hyperbolicus ("sinh") zijn gedefinieerd als:

\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

In de goniometrie kunnen de tangens, secans, cosecans en cotangens worden berekend uit de cosinus en sinus. Dit gaat bij de hyperbolische functies op dezelfde manier:


\begin{align}
\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \\
\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh (x)} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} \\
\operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh (x)} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} \\
\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^{x} + e^{-x}} {e^{x} - e^{-x}}
\end{align}

Toepassingen[bewerken]

  • Een touw dat aan beide uiteinden opgehangen wordt, volgt de vorm van een cosinus hyperbolicus. Deze kromme wordt ook de kettinglijn genoemd.
  • Differentiaalvergelijkingen, oplossingen van y''=y\, zijn van de vorm y(x)=C_1 \cosh(x)+C_2 \sinh(x)\frac{}{}

Ontwikkeling in reeksen[bewerken]


\begin{align}
\sinh (x) &= x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\\
\cosh (x) &= 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\\
\tanh (x) &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots && = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, && \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\\
\coth (x) &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots && = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, && 0 < \left |x \right | < \pi
\\
\operatorname {sech}\, (x) &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , && \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\\
\operatorname {csch}\, (x) &= \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots && = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , && 0 < \left |x \right | < \pi
\end{align}

met:

B_n \, het n-de Bernoulligetal,
E_n \, het n-de Eulergetal

Inverse functies van de hyperbolische functies[bewerken]

De inverse functies van de hyperbolische functies zijn de areaalfuncties. Gezien de hyperbolische functies worden gedefinieerd door middel van exponentiële functies, is het niet verwonderlijk dat de areaalfuncties door middel van natuurlijke logaritmen te schrijven zijn. De inverse van de cosh(x) en de sech(x) zijn geen functies maar relaties, zodat een bijkomende beperking nodig is (net zoals de cyclometrische functies) om ook in deze twee gevallen een functie te bekomen.

In de naamgeving van de areaalfuncties wordt zowel 'ar' als 'arc' als voorzetsel gebruikt. Bij het gebruik van wiskundige software of algemenere programmeertalen zal men dus moeten nagaan welke notatie precies gebruikt wordt.

\operatorname {arsinh}(x) \, = \operatorname {arcsinh}(x) \, =\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)
\operatorname {arcosh}(x) \, = \operatorname {arccosh}(x) \, =\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right); \, \, \, x\ge 1
\operatorname {artanh}(x) \, = \operatorname {arctanh}(x) \, =\tfrac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x} ; \, \, \, \left| x \right|<1
\operatorname {arcoth}(x) \, = \operatorname {arccoth}(x) \, =\tfrac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1} ; \, \, \, \left| x \right|>1
\operatorname {arsech}(x) \, = \operatorname {arcsech}(x) \, =\ln \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} ; \, \, \, 0<x\le 1
\operatorname {arcsch}(x) \, = \operatorname {arccsch}(x) \, =\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)

Relatie tussen hyperbolische en goniometrische functies[bewerken]

Met behulp van complexe getallen vinden we:


\begin{align}
\sinh(x) &= &-i &\;\sin(i x)
\\
\cosh(x) &= & &\;\cos(i x)
\\
\tanh(x) &= &-i &\;\tan(i x)
\\
\coth(x) &= & i &\;\cot(i x)
\\
\operatorname{sech}(x) &= & &\; \operatorname{sec}(i x)
\\
\operatorname{csch}(x) &= & i &\; \operatorname{csc}(i x)
\end{align}

waarbij we opmerken dat i 2 = -1.

Eigenschappen[bewerken]

Identiteiten[bewerken]

\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\,

Negatief argument[bewerken]

De cosinus hyperbolicus is een even functie, terwijl de sinus hyperbolicus een oneven functie is:


\begin{align}
\cosh(-x) &= &\cosh(x)
\\
\sinh(-x) &= -&\sinh(x)
\end{align}

En voor de andere functies geldt:


\begin{align}
\tanh(-x) &= -&\tanh(x)
\\
\operatorname{sech}(-x) &= &\operatorname{sech}(x)
\\
\operatorname{csch}(-x) &= -&\operatorname{csch}(x)
\end{align}

Somformules[bewerken]

\sinh(x+y)=\sinh(x)\cdot\cosh(y)+\cosh(x)\cdot\sinh(y)\,
\cosh(x+y)=\cosh(x)\cdot\cosh(y)+\sinh(x)\cdot\sinh(y)\,
\tanh(x+y)=\frac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\cdot\tanh(y)}
\sinh(2x)=2\sinh(x)\cdot\cosh(x)\,
\cosh(2x)=\cosh^2(x)+\sinh^2(x) = 2\cosh^2(x)-1=2\sinh^2(x)+1\,
\cosh(x) + \sinh(x) = e^x \,
\cosh(x) - \sinh(x) = e^{-x} \,

Afgeleiden[bewerken]

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cosh(x))=\sinh(x)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sinh(x))=\cosh(x)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tanh(x))=1-\tanh^2(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\coth(x))=\frac{-1}{\sinh^2(x)}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}( \operatorname{arcsinh}(x))=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}( \operatorname{arccosh}(x))=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} voor alle  x > 1
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}( \operatorname{arctanh}(x))=\frac{1}{1-x^{2}} voor alle  |x| < 1
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}( \operatorname{arccoth}(x))=\frac{1}{1-x^{2}} voor alle  |x| > 1

Omrekentabel[bewerken]

Functie  \sinh  \cosh  \tanh  \coth
 \sinh(x)=  \sgn(x)\sqrt{\cosh^2(x)-1}  \frac{\tanh(x)}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}  \frac{ \sgn(x)}{\sqrt{\coth^2(x) - 1}}
 \cosh(x)=  \,\sqrt{1+\sinh^2(x)}  \, \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}  \, \frac{\left|\coth(x)\right|} {\sqrt{\coth^2(x)- 1}}
 \tanh(x)=  \,\frac{\sinh(x)}{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}  \,\sgn(x)\frac{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}{\cosh(x)}  \,\frac{1}{\coth(x)}
 \coth(x)=  \,\frac{\sqrt{1+\sinh^2(x)}}{\sinh(x)}  \,\sgn(x)\frac{\cosh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)-1}}  \,\frac{1}{\tanh(x)}

NB:  \operatorname {sgn}(x) = \frac{x}{|x|} = het teken van x.