Cyclometrische functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De arcsinusfunctie en arccosinusfunctie in een cartesiaans assenstelsel.
De arctangensfunctie en arccotangensfunctie in een cartesiaans assenstelsel.
De arcsecansfunctie en arccosecansfunctie in een cartesiaans assenstelsel.

Cyclometrische functies, arcfuncties of boogfuncties zijn de inverse functies van de goniometrische functies. Er zijn zes van deze functies: de boogsinus (arcsinus), de boogcosinus (arccosinus), de boogtangens (arctangens), de boogcotangens (arccotangens), de boogsecans (arcsecans) en de boogcosecans (arccosecans). De grafieken van deze functies worden bekomen door spiegeling ten opzichte van de rechte y=x van een gepaste beperking van de grafiek van de overeenkomstige goniometrische functies.

Overzicht van de cyclometrische functies[bewerken]

Naam Notatie Definitie Domein Bereik
Boogsinus y=Arcsin(x) y=Bgsin(x) x=sin(y) -1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤ π/2
Boogcosinus y=Arccos(x) y=Bgcos(x) x=cos(y) -1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π
Boogtangens y=Arctan(x) y=Bgtan(x) x=tan(y) -∞ < x < ∞ −π/2 < y < π/2
Boogcotangens y=Arccotan(x) y=Bgcot(x) x=cotan(y) -∞ < x < ∞ 0 < y < π
Boogsecans y=Arcsec(x) y=Bgsec(x) x=sec(y) −∞ < x < −1 of 1 < x < ∞ 0 ≤ y < π/2 of π/2 < y ≤ π
Boogcosecans y=Arccsc(x) y=Bgcsc(x) x=csc(y) −∞ < x < −1 of 1 < x < ∞ −π/2 ≤ y < 0 of 0 < y ≤ π/2

Verbanden[bewerken]

Complementaire hoeken[bewerken]

\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x


\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x


\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x

Tegengestelde hoeken[bewerken]

\arcsin (-x) = - \arcsin x \!
\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!
\arctan (-x) = - \arctan x \!
\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!
\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!
\arccsc (-x) = - \arccsc x \!

Wederzijdse verbanden[bewerken]

\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x


\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x


\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \ als \ x > 0


\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \ als \ x < 0


\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ als \ x > 0


\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\ als \ x < 0


\arcsec \frac{1}{x} = \arccos x


\arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x

Indien er maar een deel van de boogsinusfunctie gegeven is:

\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2}, als \ 0 \leq x \leq 1
\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

Worteltrekking[bewerken]

De hieronder voorgestelde identiteiten met wortels, zijn enkel de wortels van positieve reële getallen (oftewel positieve imaginaire getallen als de wortel negatief is).

Vertrekkende van de formule \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} , krijgen we:


\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}


\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}, als  -1 < x \leq 1


\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}

Afgeleiden van cyclometrische functies[bewerken]

Reële en complexe waarden[bewerken]

Eenvoudige afgeleiden voor reële en complexe waarden van x zijn als volgt:


\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\
\frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{x^2\,\sqrt{1-{1 \over {x^2}}}}\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1-{1 \over {x^2}}}}
\end{align}

Reële waarden[bewerken]

Enkel voor reële waarden van x, krijgen we:


\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1
\end{align}

Integratie van cyclometrische functies[bewerken]

Bepaalde integralen[bewerken]

Door bovenstaande uitdrukkingen voor de afgeleide te integreren tot vaste waarde x, laat de deze cyclometrische functies te definiëren als een bepaalde integraal:


\begin{align}
\arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
\arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\
\arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\
\arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
\arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1
\end{align}

Als x gelijk wordt aan 1, worden de integralen met gelimiteerde domeinen oneigenlijke integralen, die nog steeds gedefinieerd zijn.

Onbepaalde integralen[bewerken]

Voor reële en complexe waarden van x:


\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\
\int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2})\right) + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2})\right) + C
\end{align}

Voor reële waarden van x1:


\begin{align}
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C\\
\int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C
\end{align}

Cyclometrische functies als oneindige reeksen[bewerken]

Net zoals de sinus- en cosinusfunctie kunnen de cyclometrische functies berekend worden aan de hand van oneindige reeksen:


\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}



\begin{align}
\arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \left(z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots \right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}



\begin{align}
\arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}



\begin{align}
\arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \left( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
\end{align}



\begin{align}
\arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \left(z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots \right) \\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)}
; \qquad \left| z \right| \ge 1
\end{align}



\begin{align}
\arccsc z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) \\
& {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
; \qquad \left| z \right| \ge 1
\end{align}

Leonhard Euler vond een efficiëntere reeks voor de boogtangensfunctie:

\arctan x = \frac{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}

Als alternatief kan dit als volgt worden uitgedrukt:

\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{x^{\,2n+1}}{\left(1+x^2\right)^{n+1}}

Kettingbreuk van de boogtangensfunctie[bewerken]

Voor de boogtangensfunctie bestaat ook een kettingbreukvorm:


\arctan(z)=\cfrac{z}{1 + \cfrac{z^2}{3 + \cfrac{4 z^2}{5 + \cfrac{9 z^2}{7 + \cfrac{16 z^2}{9 + \cfrac{25 z^2}{\ddots\,}}}}}}\,

Deze formule werd ontwikkeld door Carl Friedrich Gauss, waarbij hij gebruik maakte van de hypergeometrische rijen.

Logaritmische vormen[bewerken]

Deze functies kunnen ook aan de hand van complexe logaritmen uitgedrukt worden:


\begin{align}
\arcsin x &{}= -i\,\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}= \arccsc \frac{1}{x}\\
\arccos x &{}= -i\,\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}= \arcsec \frac{1}{x}\\
\arctan x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-i\,x\right)-\log\left(1+i\,x\right)\right) &{}= \arccot \frac{1}{x}\\
\arccot x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-\frac{i}{x}\right)-\log\left(1+\frac{i}{x}\right)\right) &{}= \arctan \frac{1}{x}\\
\arcsec x &{}= -i\,\log\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}+\frac{1}{x}\right) = i\,\log\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right)+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}-\arccsc x &{}= \arccos \frac{1}{x}\\
\arccsc x &{}= -i\,\log\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right) &{}= \arcsin \frac{1}{x}
\end{align}

Zie ook[bewerken]