Cyclometrische functie

De arcsinusfunctie en arccosinusfunctie in een cartesiaans assenstelsel.

De arctangensfunctie en arccotangensfunctie in een cartesiaans assenstelsel.

De arcsecansfunctie en arccosecansfunctie in een cartesiaans assenstelsel.

Cyclometrische functies, arcfuncties of boogfuncties zijn de inverse functies van de goniometrische functies. Er zijn zes van deze functies: de boogsinus (arcsinus), de boogcosinus (arccosinus), de boogtangens (arctangens), de boogcotangens (arccotangens), de boogsecans (arcsecans) en de boogcosecans (arccosecans). De grafieken van deze functies worden bekomen door spiegeling ten opzichte van de rechte y=x van de respectievelijke goniometrische functies.

Overzicht van de cyclometrische functies

Naam	Notatie	Definitie	Domein	Bereik
Boogsinus	y=Arcsin(x) y=Bgsin(x)	x=sin(y)	-1 ≤ x ≤ 1	−π/2 ≤ y ≤ π/2
Boogcosinus	y=Arccos(x) y=Bgcos(x)	x=cos(y)	-1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π
Boogtangens	y=Arctan(x) y=Bgtan(x)	x=tan(y)	-∞ < x < ∞	−π/2 < y < π/2
Boogcotangens	y=Arccotan(x) y=Bgcot(x)	x=cotan(y)	-∞ < x < ∞	0 < y < π
Boogsecans	y=Arcsec(x) y=Bgsec(x)	x=sec(y)	−∞ < x < −1 of 1 < x < ∞	0 ≤ y < π/2 of π/2 < y ≤ π
Boogcosecans	y=Arccsc(x) y=Bgcsc(x)	x=csc(y)	−∞ < x < −1 of 1 < x < ∞	−π/2 ≤ y < 0 of 0 < y ≤ π/2

Verbanden

Complementaire hoeken

$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$

$\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$

$\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x$

Tegengestelde hoeken

$\arcsin (-x) = - \arcsin x \!$

$\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!$

$\arctan (-x) = - \arctan x \!$

$\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!$

$\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!$

$\arccsc (-x) = - \arccsc x \!$

Wederzijdse verbanden

$\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x$

$\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x$

$\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \$ als $\ x > 0$

$\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \$ als $\ x < 0$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \$ als $\ x > 0$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\$ als $\ x < 0$

$\arcsec \frac{1}{x} = \arccos x$

$\arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x$

Indien er maar een deel van de boogsinusfunctie gegeven is:

$\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},$ als $\ 0 \leq x \leq 1$

$\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Worteltrekking

De hieronder voorgestelde identiteiten met wortels, zijn enkel de wortels van positieve reële getallen (oftewel positieve imaginaire getallen als de wortel negatief is).

Vertrekkende van de formule $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$, krijgen we:

$\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$

$\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},$ als $-1 < x \leq 1$

$\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

Afgeleiden van cyclometrische functies

Reële en complexe waarden

Eenvoudige afgeleiden voor reële en complexe waarden van x zijn als volgt:

$\begin{align} \frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{x^2\,\sqrt{1-{1 \over {x^2}}}}\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1-{1 \over {x^2}}}} \end{align}$

Reële waarden

Enkel voor reële waarden van x, krijgen we:

$\begin{align} \frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1 \end{align}$

Integratie van cyclometrische functies

Bepaalde integralen

Door bovenstaande uitdrukkingen voor de afgeleide te integreren tot vaste waarde x, laat de deze cyclometrische functies te definiëren als een bepaalde integraal:

$\begin{align} \arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\ \arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\ \arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\ \arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\ \arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\ \arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1 \end{align}$

Als x gelijk wordt aan 1, worden de integralen met gelimiteerde domeinen oneigenlijke integralen, die nog steeds gedefinieerd zijn.

Onbepaalde integralen

Voor reële en complexe waarden van x:

$\begin{align} \int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\ \int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\ \int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\ \int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\ \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2})\right) + C\\ \int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2})\right) + C \end{align}$

Voor reële waarden van x ≥ 1:

$\begin{align} \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C\\ \int \arccsc x\,dx &{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C \end{align}$

Cyclometrische functies als oneindige reeksen

Net zoals de sinus- en cosinusfunctie kunnen de cyclometrische functies berekend worden aan de hand van oneindige reeksen:

$\begin{align} \arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1 \end{align}$

$\begin{align} \arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | z | \le 1 \end{align}$

$\begin{align} \arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align}$

$\begin{align} \arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align}$

$\begin{align} \arcsec z & {}= \arccos\left(z^{-1}\right) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} ; \qquad \left| z \right| \ge 1 \end{align}$

$\begin{align} \arccsc z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) \\ & {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\ & {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1} ; \qquad \left| z \right| \ge 1 \end{align}$

Leonhard Euler vond een efficiëntere reeks voor de boogtangensfunctie:

$\arctan x = \frac{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}$

Als alternatief kan dit als volgt worden uitgedrukt:

$\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{x^{\,2n+1}}{\left(1+x^2\right)^{n+1}}$

Kettingbreuk van de boogtangensfunctie

Voor de boogtangensfunctie bestaat ook een kettingbreukvorm:

$\arctan(z)=\cfrac{z}{1 + \cfrac{z^2}{3 + \cfrac{4 z^2}{5 + \cfrac{9 z^2}{7 + \cfrac{16 z^2}{9 + \cfrac{25 z^2}{\ddots\,}}}}}}\,$

Deze formule werd ontwikkeld door Carl Friedrich Gauss, waarbij hij gebruik maakte van de hypergeometrische rijen.

Logaritmische vormen

Deze functies kunnen ook aan de hand van complexe logaritmen uitgedrukt worden:

$\begin{align} \arcsin x &{}= -i\,\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &{}= \arccsc \frac{1}{x}\\ \arccos x &{}= -i\,\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\log\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}= \arcsec \frac{1}{x}\\ \arctan x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-i\,x\right)-\log\left(1+i\,x\right)\right) &{}= \arccot \frac{1}{x}\\ \arccot x &{}= \frac{i}{2}\left(\log\left(1-\frac{i}{x}\right)-\log\left(1+\frac{i}{x}\right)\right) &{}= \arctan \frac{1}{x}\\ \arcsec x &{}= -i\,\log\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}+\frac{1}{x}\right) = i\,\log\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right)+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}-\arccsc x &{}= \arccos \frac{1}{x}\\ \arccsc x &{}= -i\,\log\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right) &{}= \arcsin \frac{1}{x} \end{align}$

Zie ook

• Goniometrische functie
• Lijst van goniometrische identiteiten