Logaritme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Grafiek van de wiskundige functies ln(x) en log10(x)

De logaritme van een bepaald getal is de exponent waarmee een constante waarde, het grondtal, moet worden verheven om dat bepaalde getal als resultaat te verkrijgen. Voor grondtal 10 is de logaritme van 1000 bijvoorbeeld gelijk aan 3, dit omdat 1000 gelijk is aan 10 tot de macht 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Meer in het algemeen geldt dat als x = gy, dat dan y de logaritme van x is voor het grondtal g. Dit wordt geschreven als y = logg(x); log10(1000) is dus 3.

De logaritme is een rekenkundige bewerking van de derde orde. De logaritme is een wiskundige functie die gewoonlijk wordt afgekort tot log. De logaritmische functie wordt gedefinieerd als de inverse van een exponentiële functie (een macht met vast grondtal, als functie van de exponent). Om deze inverse functie duidelijk te specificeren is een vast grondtal vereist. De volgende drie grondtallen worden in logaritmen veel gebruikt:

  • Logaritmen met grondtal 10. Men spreekt van de Briggse logaritme en noteert deze als log, log10, lg of 10log.
  • Logaritmen met grondtal e. Men spreekt van natuurlijke logaritme, of Neperiaanse of Neperse logaritme, naar de uitvinder John Napier. De natuurlijke logaritme wordt vaak genoteerd als ln, maar men schrijft ook wel log in vakgebieden waarbij het vanzelfsprekend is dat de natuurlijke logaritme wordt bedoeld.
  • Logaritmen met grondtal 2. Dit type logaritmen komt veel terug in onder andere de informatica. Deze wordt vaak genoteerd als log2 of 2log, lb of kortweg log als dit gezien de context vanzelfsprekend is.

Definitie[bewerken]

De logaritme voor het grondtal a van een getal x is de macht waartoe men het grondtal a moet verheffen om x als uitkomst te krijgen, dus:

q=\log_a(x) \Longleftrightarrow a^q=x.

Of anders geschreven:

a^{\log_a(x)}=x.

Zowel het grondtal a als het argument x moeten groter zijn dan 0; bovendien mag a niet gelijk zijn aan 1.

De logaritme voor het grondtal a is dus de inverse van de exponentiële functie met a als grondtal. Wanneer men de grafiek van de logaritme voor het grondtal a spiegelt ten opzichte van de lijn y=x, krijgt men de grafiek van de functie x → ax.

De logaritme van 0 met welk grondtal dan ook is niet gedefinieerd, omdat er geen macht bestaat met welk grondtal dan ook welke resulteert in nul. Daarom heeft elke grafiek van de logaritme een asymptoot bij nul.

Gewone of briggse logaritme[bewerken]

De gewone of briggse logaritme, log, is de logaritme met het grondtal 10. Vóór de komst van rekenmachines werd deze logaritme veel bij berekeningen gebruikt.

Natuurlijke of neperiaanse logaritme[bewerken]

De natuurlijke logaritme, vaak geschreven als ln, maar in de wiskunde gewoon als log, is de logaritme met het grondtal e = 2,718281828... :

\ln(x) = {}^{e}\!\log(x) \,

In plaats van loga(x) wordt ook wel alog(x) geschreven. Bij een n-tallig talstelsel wordt in loga(x) de a vaak niet genoteerd wanneer deze gelijk is aan n. Zo wordt in het normale tientallige stelsel log(x) genoteerd, waar log10(x) bedoeld wordt.

Graph of common logarithm.png
Grafiek van de logaritme met grondtal 10 als functie van x.
Let op: aan de linkerzijde van de grafiek heeft de logaritme een asymptoot naar −oneindig als x zeer klein wordt.

Geschiedenis[bewerken]

De Zwitserse klokkenmaker Jost Bürgi, in dienst van de hertog van Hessen-Kassel, was de eerste die het begrip logaritme ontwikkelde.

De natuurlijke logaritme werd voor het eerst geïntroduceerd in 1614, in een boek getiteld Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, door John Napier, die beschouwd wordt als de uitvinder van de logaritme. Aanvankelijk gebruikte Napier het getal 1/e als grondtal. Hij noemde logaritmen "artificial numbers", kunstmatige getallen. Later bedacht hij de term "logaritme", om aan te geven dat het zowel om een verhouding als om een getal ging (Grieks: λόγoς, logos, in de betekenis van ratio, verhouding en άριθμός, arithmos, getal).

Het gebruik van logaritmes droeg bij aan de vooruitgang van de wetenschap, speciaal de sterrenkunde, door de vereenvoudiging van ingewikkelde berekeningen. De logaritmes verdrongen de ingewikkelder prosthaphaeresis, dat gebaseerd was op goniometrische betrekkingen, als snelle methode om vermenigvuldigingen te maken. Voor de komst van rekenmachines en computers, werden logaritmes veel gebruikt voor berekeningen, o.a. in de navigatie en de ingenieurswetenschappen.

De Briggse logaritme is genoemd naar de Engelse wiskundige Henry Briggs. De logaritmetafels met het grondtal e waren zeer moeilijk op te stellen. Ze waren daardoor onnauwkeurig. Briggs stelde voor het grondtal 10 toe te passen. Dit rekende gemakkelijker. Na een bezoek aan Napier in 1615 schreef Briggs zijn eerste werk, Logarithmorum Chilias Prima dat in 1617 verscheen. Een verdere wiskundige verhandeling verscheen in 1624 onder de titel Arithmetica Logarithmica. Dit werk bevatte de logaritmen van de natuurlijke getallen van 1 tot 20.000 en van 90.000 tot 100.000 berekend tot op 14 decimale cijfers. Hij stelde die tafels op, door met pen en papier de eerste 27 opeenvolgende vierkantswortels uit 10 te trekken met 16 cijfers na de komma. De 27 volgende wortels bepaalde hij met een benaderingsformule. In hetzelfde werk vinden we ook tafels voor de sinus tot 15 decimale cijfers en van de tangens en secans tot op 10 decimale cijfers.

De nog aanwezige leemte in de logaritmentafel (70% was nog niet berekend (tussen 20.000 en 90.000)!) werd in Gouda door de landmeter Ezechiel de Decker opgevuld in twee afzonderlijke uitgaven. In 1626 verscheen zijn Eerste deel der nieuwe telkonst en in 1627 samen met Adriaen Vlacq het Tweede deel van de nieuwe telkonst. De volledige tafels werden in 1628 in Vlacqs Arithematica Logarithmica voor het eerst gepubliceerd.

De uiteindelijke complete tabellen van Briggs werden gedrukt in Gouda in 1631 en gepubliceerd in 1633 onder de titel van Trigonometria Britannica. Dit werk was de opvolger van Briggs' in 1617 gepubliceerd Logarithmorum Chilias Prima ("Introduction to Logarithms"). Dit was het eerste rekensysteem dat goed werkte.

Toepassing[bewerken]

  • Vermenigvuldigen

Al eeuwen geleden was de logaritme belangrijk voor mensen die veel moesten rekenen. Een eigenschap van logaritmes is namelijk dat een vermenigvuldiging omgezet kan worden naar een optelling:

\log \left(a \right) + \log \left(b \right) = \log \left(ab \right)

Om het product van a en b te berekenen, tel je de logaritme van a en van b bij elkaar op en zoek je het getal waarvan dit resultaat de logaritme is. De logaritmen worden niet berekend, maar over en weer opgezocht in tabellen. Deze logaritmetafels (tabellen van getallen met hun logaritme) zijn al eeuwen geleden uitgerekend en gepubliceerd. Ze werden gebruikt door zeelieden bij de plaatsbepaling op zee (navigatie), door ingenieurs etc.

Eveneens met behulp van een logaritmetabel kunnen de volgende bewerkingen worden herleid tot optellingen en aftrekkingen.

  • Delen: door logaritmen af te trekken kunnen ook delingen uitgevoerd worden.
\log \left(a \right) - \log \left(b \right) = \log \left(\frac{a}{b} \right)
  • Machtsverheffen: neemt men twee maal achter elkaar de logaritme dan kan men door op te tellen een getal verheffen tot een willekeurige macht.
\log\left[\log \left(a \right)\right] + \log \left(b \right)= \log\left[\log \left(a^b \right)\right]
  • Wortels: neemt men twee maal achter elkaar de logaritme dan kan men door af te trekken een willekeurige wortel trekken.
\log\left[\log (a)\right] - \log \left(b \right) = \log\left[\log \left(a^{\frac{1}{b}}\right) \right] = \log\left[\log (\sqrt[b]{a}) \right]

Ook de rekenliniaal is op het principe van logaritmes gebaseerd: de schalen zijn zo ingedeeld dat de logaritmes van de weergegeven getallen lineair verlopen: het lijnstuk tussen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4. Door het optellen van twee lijnstukken ter lengte van de logaritme van de getallen leest men bij de uitkomst het resultaat van de vermenigvuldiging ervan af. Door de opkomst van de zakrekenmachine zijn zowel logaritmetafels als rekenlinialen in onbruik geraakt.

Logaritmische schalen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Logaritmische schaal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De logaritme komt goed van pas wanneer iets zo'n enorm bereik heeft, dat het verschil tussen de allerlaagste en allerhoogste waarde ons ook niet zo veel meer zegt. De wet van Weber zegt dat de menselijke zintuigen een logaritmische indruk opdoen van de intensiteit van de prikkel.

Bekende logaritmische schalen zijn:

Grootte-ordes en logaritmes[bewerken]

De logaritme van een getal x geeft de grootte-orde van x aan. Als we 10 als grondtal nemen is dat goed te zien:

logaritme van 1 is 0, want 100= 1
logaritme van 10 is 1, want 101= 10
logaritme van 100 is 2
logaritme van 1000 is 3

De orde van grootte van 3269 is \lfloor \log 3269\rfloor=3; de wetenschappelijke notatie is dan ook 3269=3,269·103.

Het werkt ook voor negatieve machten. De orde van grootte van 0,03269 is \lfloor \log 0,03269\rfloor=-2; de wetenschappelijke notatie is: 0,03269=3,269·10-2.

In een n-tallig talstelsel is het mogelijk om op onderstaande wijze het aantal cijfers voor de komma van een willekeurig getal x te bepalen.

aantal cijfers = \lfloor \log_n \left(x \right)+1 \rfloor

Het aantal cijfers van een getal in het tientallige stelsel wordt dus bepaald door \lfloor \log \left(x \right)+1 \rfloor.

Rationaliteit[bewerken]

Zijn a en b natuurlijke getallen, dan is loga(b) in het algemeen een irrationaal getal. Alleen als er natuurlijke getallen n en m bestaan zodat am = bn is de logaritme rationaal.

Limieten[bewerken]

Voor een logaritme gelden de onderstaande limieten als het grondtal a > 1 is:

\begin{array}{clr}
\displaystyle \lim_{n \to \infty } &\log_a \left(n \right) = & \infty \\
\displaystyle \lim_{n \to 0} &\log_a \left(n \right) = &-\infty \\
\end{array}

Voor 0 < a < 1 geldt:

\begin{array}{clr}
\displaystyle \lim_{n \to \infty } &\log_a \left(n \right) = &-\infty \\
\displaystyle \lim_{n \to 0} &\log_a \left(n \right) = & \infty \\
\end{array}

Andere grondtallen[bewerken]

Logaritmen laten zich gemakkelijk omzetten naar een ander grondtal; zij verschillen slechts een constante factor. Er geldt namelijk:

\frac{\log_a \left(x \right)}{\log_b \left(x \right)}=\frac{\frac{1}{\log_x \left(a \right)}}{\frac{1}{\log_x \left(b \right)}}=\frac{\log_x \left(b \right)}{\log_x \left(a \right)}=\log_a \left(b \right) ,

zodat

\log_a \left(x \right) = \log_a \left(b \right) \log_b \left(x \right) .

Overigens ziet deze betrekking er fraaier uit in de andere notatie voor logaritmen:

{}^a \! \log x ={}^a \! \log b \cdot {}^b \! \log x .

Afgeleide[bewerken]

Een bijzondere eigenschap van de natuurlijke logaritme is de eenvoudige vorm van z'n eerste afgeleide, namelijk:

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left(x \right) = \frac{1}{x} .

We kunnen dit aantonen met behulp van de kettingregel.

1 = x' = \left ( e^{\ln(x)} \right )' = e^{\ln(x)} \ln'(x) =x \ln'(x),

waaruit het gestelde volgt.

Door gebruik te maken van de natuurlijke logaritme en zijn afgeleide, is het mogelijk om de afgeleiden van andere logaritmen te bepalen.

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \log_a \left(x \right)=
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac { \log_e \left(x \right) }{ \log_e \left(a \right) }=
\frac{1}{\ln a} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln \left(x \right) =
\frac{1}{x \ln{a}}

Aangezien x altijd positief is, en ln(a)>0 is voor a>1 en ln(a)<0 is voor 0<a<1, is f(x) = \log_a \left(x \right) een strikt stijgende functie als a>1 en een strikt dalende functie als 0<a<1.

Rekenen met logaritmes[bewerken]

Bij het werken met logaritmen kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande regels

  • b^ \left( \log_b \left(a \right) \right)=a (definitie)
  • \log_a \left(x^g \right ) =g\log_a \left(x \right)
  • \frac{\log_n{b}}{\log_n{a}}=\log_a{b} \left(n,a,b>0 \wedge n,a \not=1 \right)
  • \log_a{bc} = \log_a \left(b \right) + \log_a \left(c \right)
volgt uit: a^{ \log_a \left(bc \right) } = bc = a^{ \log_a \left(b \right) }a^{ \log_a \left(c \right) } = a^{\log_a \left(b \right) + \log_a \left(c \right) }
  • \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a \left(b \right) - \log_a \left(c \right)
volgt uit: \log_a \left(bc^{-1} \right) = \log_a \left(b \right) + \log_a \left(c^{-1} \right) = \log_a \left(b \right) - \log_a \left(c \right)
  • \log_a \left(1 \right)=0
  • \log_a \left(a \right)=1
  • \log_a \left( \frac{1}{x} \right) = - \log_a \left(x \right) (soms ook geschreven: \mathrm{co} \log(x))
  • \log_a \left(b \right)=\frac{1}{ \log_b \left(a \right) }
  • \log_\left(a^n \right) \left(b^n \right)=\log_a \left(b \right) \left(b>0 \wedge n \not=0 \right)
volgt uit: \log_a \left(b \right)=\frac{\log_c \left(b \right)}{\log_c \left(a \right)}=\frac{n\log_c \left(b \right)}{n\log_c \left(a \right)} = \frac{\log_c \left(b^n \right)}{\log_c \left(a^n \right)} = \log_\left(a^n \right) \left(b^n \right)

Logaritmes van complexe getallen[bewerken]

Hierboven hebben we aangenomen dat het argument x (het getal waarvan we een logaritme nemen) een positief reëel getal is. Het is echter mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar negatieve en zelfs complexe argumenten.

Een complex getal w heet een logaritme van z, w=\log z \!, als e^w=z.

Men spreekt van een logaritme omdat er bij z oneindig veel getallen w zijn die als logaritme optreden. Zij verschillen onderling een geheel veelvoud van 2\pi i, omdat e^{2\pi i} =1. Schrijven we:

z = r e^{i \varphi },

met absolute waarde r en argument \varphi, dan is elk van de getallen

w = \log r + i\varphi + 2n\pi i

een logaritme van z . De logaritme voor complexe getallen z is een meerwaardige functie:

\log z = \log r + i\varphi + 2n\pi i.

(N.B. het is gebruikelijk het argument \varphi zo te definiëren dat -\pi<\varphi \le \pi.)

De waarde van de logaritme voor n=0, heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Negatieve argumenten zijn een bijzonder geval van complexe argumenten. Bijvoorbeeld z = -1 is een complex getal op de eenheidscirkel met argument \varphi =\pi. De logaritme van −1 heeft daarom een hoofdwaarde van \log 1 +\pi i.

Logaritmes van quaternionen[bewerken]

Het is mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar quaternionen.

Een quaternion w heet een logaritme van q, w = log q, als ew = q.

Men spreekt van een logaritme omdat er bij q oneindig veel getallen w zijn die als logaritme optreden. Zij verschillen onderling een geheel veelvoud van 2πv, waar v de eenheidsvector is die overeenkomt met q, zodanig dat v2= −1 en v=\frac{q - Re(q)}{|q - Re(q)|}.Dit komt doordat e2nπi= 1. Schrijven we q als:

q = r e^{v \phi } \!,

met absolute waarde r, argument φ en eenheidsvector v dan is elk van de getallen

w = \log r + v\phi + 2n\pi v \!

een logaritme van q. De logaritme voor quaternionen q is een meerwaardige functie:

\log q = \log r + v\phi + 2n\pi v \!.

(N.B. het is gebruikelijk het argument φ zo te definiëren dat −π < φ ≤ π.)

De waarde van de logaritme voor n = 0, heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Heeft men nu twee quaternionen a en b dan geldt:

\log_b a = \frac{\log a}{\log b}

Dit is opnieuw een meerwaardige functie die afhangt van twee gehele getallen n1 (behorend bij log a) en n2 (behorend bij log b), stelt men nu n1 = n2 = 0, dan krijgt men de hoofdwaarde van log_b a

Berekeningen met grote getallen[bewerken]

Logaritmen zijn ook een hulp bij berekeningen met grote getallen, geschreven als een macht, die met een grafische rekenmachine onmogelijk zijn uit te rekenen (zonder herschrijven).

Voorbeeld[bewerken]

Het berekenen van

 \ X=\sqrt[18]{\frac{3000^{140}\cdot (9\pi)^{3002}}{2008^{2008}}} \,

is onmogelijk te doen met een (zak)rekenmachine. Met logaritmen gaat dit wel:

\log\left(\sqrt[18]{\frac{3000^{140}\cdot (9\pi)^{3002}}{2008^{2008}}}\right) \,
= \tfrac{1}{18}\log\left(\frac{3000^{140}\cdot (9\pi)^{3002}}{2008^{2008}}\right) \,
= \tfrac{1}{18}\left[\log\left(3000^{140} \cdot (9\pi)^{3002}\right) -\log\left(2008^{2008}\right)\right] \,
= \tfrac{1}{18}\left[\log\left(3000^{140}\right) + \log\left((9\pi)^{3002}\right) - \log\left(2008^{2008}\right)\right] \,
= \tfrac{1}{18}\left[ 140\cdot\log(3000) + 3002\cdot\log(9\pi) - 2008\cdot\log(2008)\right] \,
\approx -99{,}33736779 \,

We hebben nu de logaritme van het gezochte antwoord berekend. Nu moeten we nog deze macht van 10 berekenen:

 \ X \approx 10^{-99{,}33736779} \,
\approx 10^{-0{,}33736779}\times 10^{-99} \,
\approx 0{,}4598669977 \times 10^{-99} \,

ISO 31-11[bewerken]

ISO 31-11 stelt voor de volgende logaritmes als notatie voor:[1]

Grondtal Symbool
10 lg
e ln
2 lb
a \log_a

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  1. Zie de Engelstalige Wikipedia-pagina voor ISO 31-11.