Vermenigvuldigen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Zie het artikel Zie vermenigvuldiging voor andere betekenissen van Vermenigvuldigen.
Productberekening
De tafels van vermenigvuldiging

Het vermenigvuldigen van twee gehele getallen is een rekenkundige bewerking met hetzelfde resultaat als het herhaald optellen van steeds eenzelfde getal.

De bewerking wordt geschreven als a × b waarbij twee getallen, a en b, betrokken zijn.

Als a, het vermenigvuldigtal, een positief geheel getal is, komt vermenigvuldigen overeen met herhaald optellen; met andere woorden, een som van a termen b:

a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_a

Het getal b wordt ook wel de vermenigvuldiger genoemd.

In plaats van 18 keer het getal 24 bij elkaar op te tellen:

24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24,

met als uitkomst 432,

schrijft men:

18 × 24 (18 keer (of maal) 24)

en berekent:

18 × 24 = 432

Het resultaat van de vermenigvuldiging, het getal 432, heet het product van vermenigvuldiger 24 en vermenigvuldigtal 18. Omdat vermenigvuldigen commutatief is, 18 × 24 = 24 × 18, worden vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal beide ook wel met "factor" aangeduid.

Het symbool waarmee een vermenigvuldiging wordt aangeduid is een kruisje, ×, of een puntje, ·, uitgesproken als maal of keer.

Ook meer dan twee getallen kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Het product ontstaat door achtereenvolgens herhaaldelijk twee factoren met elkaar te vermenigvuldigen, waarbij het tussenresultaat als nieuwe factor komt in de plaats van de twee.

Eigenschappen[bewerken]

  • Vermenigvuldigen is commutatief; dat wil zeggen dat de rol van vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal omgewisseld kunnen worden, zonder dat het product (de uitkomst) verandert. (Dit geldt niet voor vermenigvuldigen van matrices).
  • Vermenigvuldigen is associatief; dat wil zeggen dat bij meer dan twee factoren de volgorde waarin de factoren met elkaar vermenigvuldigd worden, het product (de uitkomst) niet verandert.
  • Als een getal vermenigvuldigd wordt met het getal 1 (een), is het resultaat het getal zelf. Het getal een is het neutrale element voor de vermenigvuldiging.
  • Als een getal vermenigvuldigd wordt met het getal 0 (nul), is het product gelijk aan 0 (nul).
  • Het product van een getal a, ongelijk aan 0, en zijn omgekeerde 1/a is 1 (een).
  • Wanneer er een oneven aantal negatieve factoren zijn, is het product negatief. Bij een even aantal negatieve factoren is het product positief.

Leren vermenigvuldigen[bewerken]

Vermenigvuldigen wordt onderwezen op de basisschool. Daarbij zijn drie belangrijke stappen.

De eerste stap laat met kleine getallen zien dat vermenigvuldigen voortkomt uit herhaald optellen. Daarbij worden eenvoudige voorbeelden gebruikt, zoals: drie kinderen hebben elk twee handen; samen hebben ze zes handen. Dus: 3 × 2 = 6. Uiteindelijk mondt dit uit in het leren van de tafels van vermenigvuldiging.

In de tweede stap wordt dit gecombineerd met tientallen, honderdtallen, enzovoort. Voor het uitrekenen van 30 × 70 wordt dan eerst berekend: 3 × 7 = 21, en dus: 30 × 70 = 2100. Dit is onder andere in te zien door het ordenen van getallen in rijtjes. Een voorraad van 60 auto's kan worden geordend in 6 rijtjes van 10. Als er 4 van zulke voorraden zijn, resulteren 4 × 6 = 24 rijtjes van elk 10 auto's. Dus: 240 auto's, en uiteindelijk: 4 × 60 = 240. Hier wordt de associativiteit van vermenigvuldigen gebruikt: a \times (b \times c) = (a \times b) \times c, oftewel: 4 × (6 × 10) = (4 × 6) × 10.

De derde stap is het in delen vermenigvuldigen van getallen. De vermenigvuldiging 5 × 24 wordt berekend als volgt: 5 × 24 = 5 × (20 + 4) = 5 × 20 + 5 × 4 = 100 + 20 = 120. Hier wordt de distributiviteit van de vermenigvuldiging gebruikt: a \times (b+c) = (a \times b)+(a \times c).

Alternatieve methode[bewerken]

Een andere manier van uitvoeren van een vermenigvuldiging is de 'kruislingse vermenigvuldiging', waardoor de som van meerdere producten, zoals die zichtbaar zijn bij notering in de traditionele berekening, kan worden teruggebracht tot één product zodat alleen de twee factoren en het product genoteerd worden. In het gegeven voorbeeld van 24 × 18 ontstaat het product 432 door de volgende som: 8 × 4 + 8 × 20+ 10 × 4 + 10 × 20. In grotere berekeningen zullen de vele nullen leiden tot vergissingen, vooral als het product door middel van hoofdrekenen gevonden moet worden.

Ter illustratie van de alternatieve methode dient het volgende voorbeeld, nu zonder gebruik van nullen:

            8 1 2 5 3
         x  2 3 6 7 4
                                 4*3 = 12; onthoud 1, noteer 2 (van rechts naar links)
                       1 + 4*5 + 7*3 = 42; onthoud 4, noteer 2
                 4 + 4*2 + 7*5 + 6*3 = 65; onthoud 6, noteer 5
           6 + 4*1 + 7*2 + 6*5 + 3*3 = 63; onthoud 6, noteer 3
     6 + 4*8 + 7*1 + 6*2 + 3*5 + 2*3 = 78; onthoud 7, noteer 8
     7 + 7*8 + 6*1 + 3*2 + 2*5       = 85; onthoud 8, noteer 5
     8 + 6*8 + 3*1 + 2*2             = 63; onthoud 6, noteer 3
     6 + 3*8 + 2*1                   = 32; onthoud 3, noteer 2
     3 + 2*8                         = 19;            noteer 19

Het product van deze opgave is dan: 1923583522. Voor kenners van de tafels van 100 is de berekening nog sneller uit te voeren, namelijk:

        74*53 = 3922; onthoud 39, noteer 22.
   39 + 74*12 + 36*53 = 2835; onthoud 28, noteer 35.
   28 + 74*8  + 36*12 + 2*53 = 1158, onthoud 11, noteer 58.
   11 + 36*8  +  2*12 = 323; onthoud 3, noteer 23.
    3 +  2*8 = 19, noteer 19.

Notatie[bewerken]

Op de basisschool leert men meestal om de vermenigvuldiging met een Andreaskruis te noteren (bijvoorbeeld 3 × 2 = 6). Op een hoger niveau gebruikt men in Europa vaak een punt (bijvoorbeeld 3 · 2 = 6), en in de meeste programmeertalen een sterretje (bijvoorbeeld 3 * 2 = 6. Dit laatste om verwarring met de Angelsaksische notatie (waar een punt gebruikt wordt om de decimalen aan te geven) en met de letter x te voorkomen. Wanneer men geen cijfers direct naast elkaar zet, wordt er vaak zelfs geen teken gebruikt, bijvoorbeeld:

ab = a × b
3a = 3 × a
(a+1)(b-1) = (a+1) × (b-1)

Een product van meerdere factoren schrijft men soms verkort aan met een multiplicatieteken, de hoofdletter pi uit het Griekse alfabet.

\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \dots \cdot x_{n-1} \cdot x_n

Zo kan men n! (n faculteit) bijvoorbeeld ook noteren als

\prod_{i=1}^n i

Inverse van vermenigvuldigen[bewerken]

De inverse bewerking van vermenigvuldigen is delen.

Zie ook[bewerken]