Distributiviteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde en in het bijzonder in de abstracte algebra is distributiviteit een eigenschap van binaire operaties, die de distributieve wet uit de elementaire algebra generaliseert. Bijvoorbeeld:

2 • (1 + 3) = (2 • 1) + (2 • 3).

Aan de linkerkant van de bovenstaande vergelijking, vermenigvuldigt de 2 de som van 1 en 3, terwijl aan de rechterkant de 2 de 1 en de 3 elk afzonderlijk vermenigvuldigt en daarna pas de tussenresultaten bij elkaar optelt.

Omdat beide kanten van de vergelijking hetzelfde antwoord (8) geven, zeggen wij dat de vermenigvuldiging met 2 distribueert over optellen van 1 en 3. Aangezien we, in plaats van 2, 1, en 3, ook elk ander reëel getal kunnen invullen, en dan nog steeds een gelijkheid hebben, zeggen wij dat vermenigvuldiging van de reële getallen distributief is over optelling van de reële getallen.

Definitie[bewerken]

Gegeven een verzameling S en 2 binaire operaties • en + op S, zeggen we dat de operatie •

x • (y + z) = (xy) + (xz);
(y + z) • x = (yx) + (zx);
  • distributief is over + als de operatie zowel links- als rechts-distributief is.

Merk op dat wanneer • commutatief is, de drie bovenstaande condities logisch equivalent zijn.

Voorbeelden[bewerken]

max(a,min(b,c)) = min(max(a,b),max(a,c)) en min(a,max(b,c)) = max(min(a,b),min(a,c)).
ggd(a,kgv(b,c)) = kgv(ggd(a,b),ggd(a,c)) en kgv(a,ggd(b,c)) = ggd(kgv(a,b),kgv(a,c)).
  • Voor de reële getallen distribueert optelling over de maximale operatie, en dus ook over de minimale operatie
a + max(b,c) = max(a+b,a+c) en a + min(b,c) = min(a+b,a+c).

Niet helemaal toevallig zijn dit alle voorbeelden van specifieke Booleaanse algebra's, een algebraïsche structuur waar distributiviteit een belangrijke eigenschap is.

Zie ook[bewerken]