Geheel getal

Vaak gebruikt symbool om de verzameling van de gehele getallen aan te geven

Een geheel getal is een natuurlijk getal {0, 1, 2, ...} of de negatieve vorm ervan {-1, -2, ...} (-0 is hetzelfde als 0, zodat die er dus niet weer bij wordt genomen).

De verzameling van de gehele getallen wordt voorgesteld door $\mathbb{Z}$, naar het Duitse woord Zahlen (getallen).

De verzameling is gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten voor deling: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op (bijvoorbeeld 1/2, zie Rationaal getal).

Formeel wiskundig kan men de gehele getallen karakteriseren als de kleinste verzameling $\mathbb{Z}$ met de eigenschappen:

$0 \in \mathbb{Z}$

$z \in \mathbb{Z} \implies z + 1 \in \mathbb{Z}$

$z \in \mathbb{Z} \implies z - 1 \in \mathbb{Z}$

De elementen van $\mathbb{Z}$ hebben een bepaalde volgorde, maar geen onder- of bovengrens. Strikter geformuleerd: de verzameling $\mathbb{Z}$ wordt totaal geordend door de relatie < (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens.

... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ...

Deze orde heeft de eigenschappen:

1. als a < b en c < d dan is a + c < b + d
2. als a < b en 0 < c dan is ac < bc

Een belangrijke eigenschap van de gehele getallen is verder de reststelling:

Gegeven de gehele getallen a en b, met b verschillend van 0, dan kunnen we altijd twee unieke gehele getallen q en r vinden zodat:

a = bq + r

met 0 ≤ r < |b| (zie Absolute waarde).

In bovenstaande stelling noemen we q het quotiënt en r de rest van de deling van a door b.

Als in bovenstaande stelling r=0, is de breuk a/b=q, en dus geheel. Als r verschillend is van 0, is de breuk a/b een niet-geheel rationaal getal, met een geheel deel q (de cijfers voor de komma) en een gebroken of fractioneel deel r/b (de cijfers na de komma).

De verzameling $\mathbb{Z}$ van de gehele getallen is gelijkmachtig met (heeft "evenveel" elementen als) de verzameling $\mathbb{N}$ van natuurlijke getallen; beide zijn aftelbaar oneindig, (hebben $\aleph_0$ elementen). Men bewijst dit door de gehele getallen af te tellen in de volgorde: 0,-1,1,-2,2,-3,3, ..., of formeel-wiskundig:

de volgende functie f: $\mathbb{Z}$ → $\mathbb{Z}$ beeldt de natuurlijke getallen een-eenduidig (bijectief) af op de gehele getallen:

f(2n) = n en f(2n+1)= -(n+1)

Het gedeelte van de wiskunde dat zich bezig houdt met de gehele getallen heet getaltheorie.

Mediabestanden

Zie de categorie Integers van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.