Geheel getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Vaak gebruikt men symbool \mathbb{Z} om de verzameling van de gehele getallen aan te geven

De gehele getallen omvatten alle getallen in de rij

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Een geheel getal is een getal dat zonder fractionele of decimale componenten kan worden geschreven. De getallen 21, 4 en -121 zijn bijvoorbeeld gehele getallen, terwijl 9,75, 5½ en \sqrt{12} geen gehele getallen zijn. De verzameling gehele getallen is een deelverzameling van de reële getallen en bestaat uit de gehele getallen (0, 1, 2, 3, ...) en de negatieve niet-nulzijnde natuurlijke getallen (-1, -2, -3, .. .).

Het gedeelte van de wiskunde dat zich bezighoudt met de studie naar de eigenschappen van de gehele getallen noemt men de getaltheorie.

Voor de representatie van gehele getallen in de computer maakt men gebruik van het datatype integer. Het is echter belangrijk daarbij op te merken dat deze twee niet hetzelfde zijn. Het datatype integer is een eindige verzameling, terwijl de wiskundige verzameling van de gehele getallen daarentegen een oneindige verzameling is.

Afbeelding van de verzameling van de gehele getallen[bewerken]

De verzameling van alle gehele getallen wordt vaak voorgesteld door een vet afgedrukte \mathbb{Z}, Unicode U+2124 , wat voor Zahlen (het Duitse woord voor getallen) staat.[1]

Algebräische eigenschappen[bewerken]

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

De verzameling is gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten voor deling: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op (bijvoorbeeld 1/2, zie rationaal getal).

Formeel wiskundig kan men de gehele getallen karakteriseren als de kleinste verzameling \mathbb{Z} met de eigenschappen:

0 \in \mathbb{Z}
z \in \mathbb{Z} \implies z + 1 \in \mathbb{Z}
z \in \mathbb{Z} \implies z - 1 \in \mathbb{Z}

Ordening[bewerken]

De elementen van \mathbb{Z} hebben een bepaalde volgorde, maar geen onder- of bovengrens. Strikter geformuleerd: de verzameling \mathbb{Z} wordt totaal geordend door de relatie < (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens.

... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ...

Deze orde heeft de eigenschappen:

  1. als a < b en c < d dan is a + c < b + d
  2. als a < b en 0 < c dan is ac < bc

Reststelling[bewerken]

Een belangrijke eigenschap van de gehele getallen is verder de reststelling:

Gegeven de gehele getallen a en b, waar b verschillend van 0 is, kan men altijd twee unieke gehele getallen q en r vinden zodat:
a = bq + r
waar 0 ≤ r < |b| (zie absolute waarde).

In bovenstaande stelling noemen we q het quotiënt en r de rest van de deling van a door b.

Als in bovenstaande stelling r=0, is de breuk a/b=q, en dus geheel. Als r verschillend is van 0, is de breuk a/b een niet-geheel rationaal getal, met een geheel deel q (de cijfers voor de komma) en een gebroken of fractioneel deel r/b (de cijfers na de komma).

Cardinaliteit[bewerken]

De verzameling \mathbb{Z} van de gehele getallen is gelijkmachtig aan de verzameling \mathbb{N} van natuurlijke getallen; beide verzamelingen zijn aftelbaar oneindig. Beide verzamelingen bevatten "evenveel" elementen. De cardinaliteit van beide verzamelingen van gehele getallen is gelijk aan \aleph_0 (aleph-null). Dit kan relatief eenvoudig worden gedemonstreerd door de constructie van een bijectie, dat is een functie die tegelijkertijd injectief en surjectief van \mathbb{Z} op \mathbb{N} is. Beschouw voor \mathbb{N} = {0, 1, 2, ...} de functie:

f(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{als } x < 0 \\ 0, & \mbox{als } x = 0 \\ 2x-1, & \mbox{als } x > 0. \end{cases}

{... (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5) ...}

Beschouw voor \mathbb{N} = {1, 2, 3, ...} de functie:

g(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{als } x < 0 \\ 2x+1, & \mbox{als } x \ge 0. \end{cases}

{... (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7) ...}

Als het domein tot \mathbb{Z} wordt beperkt dan heeft elk en ieder lid van \mathbb{Z} een en slechts een corresponderend lid in \mathbb{N}. Door de definitie van kardinale gelijkheid hebben de twee verzamelingen een gelijke cardinaliteit.

Verwante onderwerpen[bewerken]

De Gauss-gehele getallen en de Eisenstein-gehele getallen zijn twee verschillende uitbreidingen van de gehele getallen naar de complexe getallen.

Voetnoten[bewerken]

  1. Jeff Miller, Earliest Uses of Symbols of Number Theory.