Geheel getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Symbool om de verzameling gehele getallen aan te geven

De gehele getallen zijn alle getallen in de rij

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

die voortgezet wordt door er steeds 1 bij te tellen of er 1 af te trekken. De gehele getallen omvatten de natuurlijke getallen, dus de getallen waarmee geteld wordt, en de tegengestelden daarvan, de negatieve gehele getallen.

Een geheel getal heet 'geheel' omdat het zonder fractionele of decimale componenten kan worden geschreven. De getallen 21, 4 en -121 zijn bijvoorbeeld gehele getallen, terwijl 9,75, 5½ en \sqrt{12} geen gehele getallen zijn. De verzameling gehele getallen is een deelverzameling van de reële getallen, en wordt meestal voorgesteld door een vet gedrukte Z of het symbool \Z (Unicode U+2124 ), wat voor Zahlen (het Duitse woord voor getallen) staat.[1]

Het gedeelte van de wiskunde dat zich bezighoudt met de studie naar de eigenschappen van de gehele getallen noemt men de getaltheorie.

Integer[bewerken]

Voor de representatie van gehele getallen in de computer maakt men gebruik van het datatype integer. Het is echter belangrijk daarbij op te merken dat deze twee niet hetzelfde zijn. Het datatype integer is een eindige verzameling, terwijl de gehele getallen een oneindige verzameling is.

Algebräische eigenschappen[bewerken]

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

De verzameling gehele getallen is gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten onder de bewerking delen: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op (bijvoorbeeld 1/2, zie rationaal getal).

Formeel wiskundig kan men de gehele getallen karakteriseren als de kleinste verzameling \mathbb{Z} met de eigenschappen:

0 \in \mathbb{Z}
z \in \mathbb{Z} \implies z + 1 \in \mathbb{Z}
z \in \mathbb{Z} \implies z - 1 \in \mathbb{Z}

Ordening[bewerken]

De elementen van \mathbb{Z} hebben een bepaalde volgorde, maar geen onder- of bovengrens. Strikter geformuleerd: de verzameling \mathbb{Z} wordt totaal geordend door de relatie < (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens.

... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ...

Deze orde heeft de eigenschappen:

  1. als a < b en c < d dan is a + c < b + d
  2. als a < b en 0 < c dan is ac < bc

Reststelling[bewerken]

Een belangrijke eigenschap van de gehele getallen wordt verwoord door de reststelling, die zegt dat bij iedere twee gehele getallen a en b, waarvan b\ne 0 is, altijd twee unieke gehele getallen q en r te vinden, met 0\le r <|b|,zodat:

a=bq+r.

In bovenstaande stelling heet het getal q het quotiënt en r de rest van de deling van a door b.

Als in bovenstaande stelling r=0, is de breuk a/b=q, en dus geheel. Als r verschillend is van 0, is de breuk a/b een niet-geheel rationaal getal, met een geheel deel q (de cijfers voor de komma) en een gebroken of fractioneel deel r/b (de cijfers na de komma).

Cardinaliteit[bewerken]

De gehele getallen kunnen afgeteld worden, anders gezegd: de verzameling \mathbb{Z} is gelijkmachtig aan de verzameling \mathbb{N} van natuurlijke getallen, dus aftelbaar oneindig. Beide verzamelingen bevatten a.h.w. "evenveel" elementen, hoewel de natuurlijke getallen toch maar een deel van de gehele getallen vormen. De cardinaliteit van de gehele getallen wordt aangegeven met het symbool \aleph_0 (aleph-null). Dat de gehele getallen afgeteld kunnen worden, kan eenvoudig worden aangetoond:


\begin{matrix}
0&1&-1&2&-2&3&-3&4&-4&\ldots\\
1&2&3&4&5&6&7&8&9&\ldots
\end{matrix}

Op deze manier worden de gehele getallen eeneenduidig afgebeeld op de natuurlijke getallen (zonder 0) door de bijectie f:\Z\to\N\setminus{\{0\}} met

f(x) = 
\begin{cases} 
2|x|+1, & \mbox{als } x \le 0 \\ 
2x, & \mbox{als } x > 0. 
\end{cases}

De bijectie g:\Z\to\N met

g(x) = 
\begin{cases} 
2|x|, & \mbox{als } x < 0 \\
 0,   & \mbox{als } x = 0 \\
2x-1, & \mbox{als } x > 0. 
\end{cases}

beeldt de gehele getallen af op alle natuurlijke getallen, dus inclusief 0.

Door de definitie van kardinale gelijkheid hebben de twee verzamelingen een gelijke cardinaliteit.

Verwante onderwerpen[bewerken]

De Gauss-gehele getallen en de Eisenstein-gehele getallen zijn twee verschillende uitbreidingen van de gehele getallen naar de complexe getallen.

Voetnoten[bewerken]

  1. Jeff Miller, Earliest Uses of Symbols of Number Theory.