Getal (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid. Oorspronkelijk was het begrip getal synoniem met aantal, dus voor de getallen een, twee, drie, enz., maar het heeft een ruimere betekenis gekregen, zodat ook gebroken, negatieve en zelfs complexe getallen als getal aangemerkt worden.

Een getal is verschillend van een cijfer: cijfers zijn symbolen die gebruikt worden om getallen weer te geven.

Getallen als begrip zijn taalonafhankelijk. Ook de symbolische voorstelling van getallen in de decimale schrijfwijze is op enige kleinigheden na in de meeste talen hetzelfde. In gesproken taal en geschreven als woord heeft men wel een taalafhankelijke voorstelling van getallen door middel van telwoorden. Een voorbeeld van regelmatige benaming vindt men bij: Telwoord in Esperanto.

Getallen worden ook gebruikt als codering. Zo worden voor belangrijke autoroutes door verschillende taalgebieden heen meestal genummerde benamingen gebruikt (letter A, E, N, R ... gevolgd door een getal).

Datatypen voor getallen zijn onder meer diverse varianten van integer en zwevendekommagetal.

Getalverzamelingen[bewerken]

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

In de wiskunde worden de getallen doorgaans ingedeeld in verschillende verzamelingen. De eenvoudigste getallen zijn natuurlijke getallen {0, 1, 2 ...}, voorgesteld door de verzameling \mathbb{N}. De natuurlijke getallen zijn een deelverzameling van de gehele getallen \mathbb{Z} die, naast de positieve gehele of natuurlijke getallen, ook de negatieve gehele getallen bevat. Deze verzameling kan uitgebreid worden met de getallen die enkel als breuk te schrijven zijn: deze verzameling van rationale getallen wordt voorgesteld als \mathbb{Q}. De verzameling van rationale getallen die een eindige decimale voorstelling hebben, worden decimale fracties of decimale getallen genoemd, soms weergegeven met \mathbb{D}.

Er zijn getallen, zoals π, de wortel uit twee en het getal e, die niet in breukvorm te schrijven zijn; zij vormen de irrationale getallen. Rationale en irrationale getallen vormen samen de verzameling van reële getallen, voorgesteld door \mathbb{R}. Tenslotte kan deze verzameling nog uitgebreid worden tot de complexe getallen zodat alle algebraïsche vergelijkingen oplosbaar zijn. Deze laatste verzameling wordt voorgesteld door \mathbb{C}.

We krijgen de volgende ordening tussen de verschillende verzamelingen:

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{D}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

(⊂ betekent "is een ware deelverzameling van")

Binnen de complexe getallen is nog weer een onderscheid mogelijk tussen algebraïsche en transcendente getallen.

Nog andere getalverzamelingen zijn:

Deze zijn geen deelverzameling van de complexe getallen, maar zijn wel voorbeelden van hypercomplexe getallen.

Het begrip oneindig is geen getal. Het is echter niet zo dat elk oneindig aantal evenveel is, daarom heeft men de natuurlijke getallen uitgebreid tot kardinaalgetallen en ordinaalgetallen.

Getallen met speciale eigenschappen[bewerken]

Daarnaast zijn er verzamelingen van getallen met bijzondere eigenschappen. Een eenvoudig voorbeeld daarvan zijn de even en oneven getallen. Het meest fundamenteel en bekend zijn waarschijnlijk de priemgetallen, die een basis vormen voor de vermenigvuldiging. Getallen die het product zijn van twee of meer priemgetallen heten dan weer samengesteld. Perfecte getallen zijn dan weer getallen waarvan de som van de echte delers opgeteld gelijk zijn aan het getal zelf.

Andere voorbeelden:

Getallen schrijven in het Nederlands[bewerken]

Hoe voluit schrijven?[bewerken]

Alle getallen beneden de duizend worden aan elkaar geschreven. Na het getal duizend volgt een spatie. Ook komt er een spatie voor en na miljoen, miljard, biljoen enzovoort. Echter bij getallen onder de 10 000 wordt het honderdtal gebruikt, het getal 1 282 wordt dus niet uitgesproken als duizend tweehonderdtweeëntachtig, maar als twaalfhonderdtweeëntachtig. In België wordt echter wel duizend tweehonderdtweeëntachtig gezegd. De schrijfwijzen zijn in beginsel taalafhankelijk: in andere talen gelden andere regels.

Voorbeelden:

  • 22 500 = tweeëntwintigduizend vijfhonderd
  • 5 143 317 = vijf miljoen honderddrieënveertigduizend driehonderdzeventien
  • 100 000 000 = honderd miljoen

De taalafhankelijkheid geldt ook voor de namen voor grote getallen: waar in het Nederlands voor het getal 1.000.000.000 het woord miljard gebruikt wordt, is het in angelsaksische landen gebruikelijk dit een billion te noemen, terwijl een biljoen in het Nederlands weer wijst naar 1.000.000.000.000.

Wanneer voluit schrijven?[bewerken]

Het al dan niet voluit schrijven van getallen is afhankelijk van de context, de smaak en de stijl. Doorgaans werkt de volgende regel: eenvoudige getallen betreffende de leeftijd, aantallen of de hoeveelste keer zijn voluit geschreven. Jan werd op zijn negentiende voor de tweede maal opgeroepen. Zijn dienstplicht vervulde hij samen met vierduizend man. Complexe getallen zijn in cijfers genoteerd:

  • Financiële bedragen
  • Jaartallen
  • Loon
  • Geboortedag
  • Straatnummer
  • Postcode

Talstelsels[bewerken]

Getallen kunnen worden weergegeven in verschillende talstelsels. Hierbij wordt het getal geschreven als een rijtje cijfers, waarbij elk cijfer afkomstig is uit het gekozen talstelsel. Gewoonlijk worden getallen decimaal geschreven, maar in de informatica wordt vooral voor natuurlijke getallen ook veel binair, octaal en hexadecimaal gewerkt.

De algemene formule voor het werken met n-tallige stelsels is:


[[a_m ... a_2 a_1 a_0]]_{n-tallig} = \sum_{i=0}^{m} a_i n^i = a_m n^m + a_{m-1} n^{m-1} + ... + a_2 n^2 + a_1 n + a_0

Historie[bewerken]

Getalsysteem van de Maya's

Het zetten van streepjes is de oudst bekende manier om een getal aan te duiden. Het is nog steeds in gebruik, met name in de vorm van turven.

De Romeinen gebruikten geen talstelsel, maar een geheel eigen wijze om getallen te schrijven waarin de positie van de tekens (bijna) niet belangrijk was. Zij gebruikten letters als cijfers: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. De letters worden in combinaties gebruikt, dus 234 = CCXXXIV. Om de getallen in te korten wordt in plaats van 4 maal I een I voor het volgende symbool gezet. Dus IV in plaats van IIII, XL in plaats van XXXX en CM in plaats van DCCCC. Romeinse cijfers worden nog steeds gebruikt op gebouwen om het bouwjaar aan te duiden en om uitgebreide tabellen te ondersteunen.

Doordat de volgorde bijna onbelangrijk is, was het voor de Romeinen mogelijk om een zin of vers te schrijven, en door alle letters die ook getallen representeren een jaartal te vormen. Zo'n vers wordt carnacioen genoemd.

De Romeinse cijfers zijn erg omslachtig om mee te rekenen. Sommen zoals die nu bij ons op school worden geleerd waren met Romeinse cijfers bijna onmogelijk. Bovendien misten de Romeinen het concept en symbool voor 0 (nul).

Toen de Arabieren hun cijfersysteem ontleenden aan de Indiërs, kopieerden Italiaanse handelshuizen dit snel. Ondanks aanvankelijk pauselijk verzet wonnen de nieuwe cijfers snel terrein. De Europese en Arabische cijfers verschillen aanzienlijk van vorm. Het gebruik van verschillende symbolen voor verschillende cijfers en het introduceren van de 0 maakte een positionele notatie mogelijk en vereenvoudigde het rekenen.

De Maya's ontwikkelden onafhankelijk van de Indiërs het concept van 0 en werkten met een 20-tallig stelsel.

De Babyloniërs hanteerden een 60-tallig stelsel, zij kenden wel al een positiestelsel, maar geen 0.

Gerelateerde onderwerpen[bewerken]