Wortel 2

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De hypothenusa van een rechthoekige driehoek heeft hier de relatieve lengte van √2.

De wortel van 2, geschreven als √2 of 2½, is het positieve reële getal dat vermenigvuldigd met zichzelf gelijk is aan het getal 2.

Het is een irrationaal getal dat bij benadering gelijk is aan [1]:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875....

De benadering 99/70 wordt veel gebruikt, ondanks de relatief eenvoudige breuk is deze correct tot en met de 4e decimaal.

Geschiedenis[bewerken]

Babylonisch kleitablet YBC 7289 (geannoteerd).

Het Babylonische kleitablet YBC 7289 (circa 1800-1600 v.Chr.) geeft een benadering van \sqrt{2} in vier sexagesimale cijfers, wat overeen komt met ongeveer zes decimale cijfers [2]

1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.

Een andere precieze benadering van het getal wordt gegeven in oud-Indische wiskundige texten, de Sulbasutras (ongeveer 800-200 v.Chr) als Verhoog de lengte [van de zijde] met zijn derde, en dit derde met zijn eigen vierde min het vierendertigste deel van dat vierde.[3] Dat komt neer op,

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times 4 \times 34} = \frac{577}{408} \approx 1{,}414215686.

Deze oude Indische benadering is de zevende in een reeks steeds nauwkeurigere benaderingen gebaseerd op de Pellreeks, die kan worden afgeleid uit de kettingbreuk van \sqrt{2}.

Benaderingen[bewerken]

Verschillende representaties
Binair 1,0110101000001001111...
Decimaal 1,4142135623730950488...
Hexadecimaal 1,6A09E667F3BCC908B2F...
Kettingbreuk 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}

Er zijn een aantal algoritmes om de wortel van 2 te benaderen als een breuk van gehele getallen of als decimaal getal. Het meest gebruikte algoritme hiervoor, dat ook veel gebruikt wordt in computers en rekenmachines, is de Babylonische methode[4] om wortels uit te rekenen. De methode werkt als volgt:

Neem eerst een startwaarde a0 > 0. De exacte waarde bepaalt hoe veel iteraties nodig zijn om een bepaalde precisie te halen. Dan, uitgaande van deze benadering, kan een preciezere benadering a1 worden bepaald middels:

a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.

Hoe vaker wordt geïtereerd, hoe beter de benadering wordt. Elke iteratie verdubbelt het aantal correcte decimalen. Als we beginnen met a0 = 1, worden de volgende benaderingen in de reeks gegeven door:

a1 = 3/2 = 1.5
a2 = 17/12 = 1,416...
a3 = 577/408 = 1,414215...
a4 = 665857/470832 = 1,4142135623746...

De waarde van √2 is in 1997 tot 137.438.953.444 decimalen berekend door een team onder leiding van Yasumasa Kanada.

Deze precisie werd in februari 2006 overtroffen door Shigeru Kondo die 200.000.000.000 (2 × 1011) decimalen berekende in iets meer dan 13 dagen en 14 uur op een 3,6 GHz PC met 16 GiB geheugen.[5]

Irrationaal getal[bewerken]

De wortel van 2 is een van de bekendste irrationale getallen en het bewijs dat wortel 2 inderdaad irrationaal is, is een standaardvoorbeeld in veel wiskundecolleges. Zie Bewijs dat wortel 2 irrationaal is.

De A-standaard voor papierformaat: praktische toepassing van wortel 2[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Papierformaat voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De A-serie van papierformaten is een serie van vellen waarbij het eerstvolgende vel steeds een tweemaal zo grote (of kleine) oppervlakte heeft. De verhouding van de lange tot de korte zijde bedraagt √2 : 1. De serie begint met A0, een vel met een oppervlakte van 1 vierkante meter. Met de berekende verhouding levert dat een vel op van ca. 1189 mm bij 841 mm.

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Decimalen: rij A002193 in OEIS
  2. Fowler and Robson, p. 368.
    Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  3. Henderson.
  4. Hoewel de term Babylonische methode in modern spraakgebruik veel gebruikt wordt, is het geenszins zeker dat de Babyloniërs deze methode gebruikt hebben voor de benadering van √2 die staat op tablet YBC 7289. Fowler and Robson gaan hier verder op in.
    Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  5. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Constants and Records of Computation