Decimaal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
  Getalsystemen   

Decimaal betekent tientallig. Het decimale talstelsel is een systeem om getallen weer te geven met behulp van de tien cijfers 0 tot en met 9. De naam is afgeleid van het Latijnse woord voor tiende (decimus).

Beschrijving[bewerken]

Opbouw van getallen[bewerken]

De 10 cijfers van het decimale systeem zijn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Door combinaties (achter elkaar plaatsen) van deze cijfers kunnen alle natuurlijke getallen verkregen worden. Met bijvoorbeeld de combinatie "427" wordt het getal bedoeld dat bestaat uit vier honderdtallen, twee tientallen en zeven eenheden.

Formeler: De combinatie "rnrn-1...r0" vertegenwoordigt het getal: rn×10n+rn-1×10n-1+...+r0×100. Ieder natuurlijk getal kan op een unieke manier door zo'n combinatie worden vertegenwoordigd. Ieder cijfer in een getal heeft een eigen waarde die hangt af van de plaats die het cijfer in een getal heeft. Iedere positie vertegenwoordigt een bepaalde macht van tien (het principe van een positiestelsel met grondtal tien).

Het getal 231475923 = 231.475.923 = Tweehonderdeenendertigmiljoen vierhonderdvijfenzeventigduizend negenhonderddrieëntwintig, bestaat uit de volgende onderdelen:

108 107 106 105 104 103 102 101 100 Wetenschappelijke
notatie
Spreektaal
Schrijfwijze
Eenheid
2 2×108 Tweehonderdmiljoen 200 miljoen
3 3×107 Dertigmiljoen 30 miljoen
1 1×106 Miljoen 1 miljoen
4 4×105 Vierhonderdduizend 400 duizend
7 7×104 Zeventigduizend 70 duizend
5 5×103 Vijfduizend 5 duizend
9 9×102 Negenhonderd 9 honderd
2 2×101 Twintig 2 tientallen
3 3×100 Drie 3 eenheden
2 3 1 4 7 5 9 2 3 231475923 Tweehonderdeenendertigmiljoen
vierhonderdvijfenzeventigduizend
negenhonderddrieëntwintig
231475923
eenheden

Gehele getallen[bewerken]

Het zal duidelijk zijn dat ook negatieve gehele getallen decimaal genoteerd kunnen worden door het plaatsen van een minteken voor de reeks cijfers.

Decimale breuken[bewerken]

De notatie kan worden uitgebreid om decimale breuken, dus breuken met een macht van 10 als noemer, weer te geven. Het idee is dat elke eenheid kan worden opgedeeld in 10 tienden, een tiende weer in 10 honderdsten, etc. Formeel wordt gebruikgemaakt van negatieve machten.

In het getal wordt na het cijfer dat de eenheden weergeeft, een komma geplaatst, en vervolgens gaat men gewoon verder met het systeem: het eerstvolgende cijfer geeft het aantal malen 10-1 (dus tienden) aan, het daaropvolgende cijfer het aantal malen 10-2 (honderdsten), enzovoort. Dit wordt voortgezet totdat er achter de komma net zoveel cijfers staan als de macht van 10 van de noemer. Niet elke breuk is echter een decimale breuk. Wel kan elke breuk willekeurig dicht benaderd worden door een decimale breuk. Een breuk die geen decimale breuk is, kan niet op de gewone manier met een eindig aantal cijfers weergegeven worden. Elke breuk is echter een decimale breuk of een repeterende breuk, waarin een groep decimale cijfers zich gaat herhalen.

Met het getal 24,31 wordt bedoeld: 2 tientallen + 4 eenheden + 3 tienden + 1 honderdste.

De plaats van de komma in het getal is in deze notatie cruciaal: het is het referentiepunt waaraan gezien kan worden welk deel van het getal de gehele waarden representeert en welk deel de fracties. Het eerste cijfer links van de komma geeft de eenheden weer, het eerste cijfer rechts van de komma de tienden. Indien er geen fractioneel deel aanwezig is, wordt de komma ook weggelaten: het laatste cijfer is in dat geval het referentiepunt.

Irrationale getallen[bewerken]

Elke breuk, en dus elk rationaal getal kan eenduidig in het decimale stelsel voorgesteld worden, als gewone of repeterende decimale breuk. Een irrationaal getal kan slechts benaderend decimaal voorgesteld worden, door een, voor de verlangde nauwkeurigheid, voldoende aantal cijfers achter de komma. Van het bekende irrationale getal π is inmiddels een zeer groot aantal decimale cijfers bekend, mede omdat het een soort sport is steeds weer volgende decimalen te bepalen.

Uitspraak[bewerken]

Als decimale getallen worden uitgesproken, gebeurt dat meestal van links naar rechts in deze groepjes van 3 cijfers, die elk als 3-cijferig getal worden uitgesproken, gevolgd door de vermenigvuldigingsfactor die met hun positie overeenkomt:

Miljoenen Duizendtallen Eenheden Wetenschappelijke
notatie
Spreektaal
Schrijfwijze
2 3 1 2,31×108 Tweehonderdeenendertigmiljoen
4 7 5 4,75×105 Vierhonderdvijfenzeventigduizend
9 2 3 9,23×102 Negenhonderddrieëntwintig
2 3 1 4 7 5 9 2 3 2,31475923×108 Tweehonderdeenendertigmiljoen
vierhonderdvijfenzeventigduizend
negenhonderddrieëntwintig

In sommige talen worden getallen tussen 1101 en 9999 ook in groepen van twee cijfers uitgesproken: 1531 is vijftienhonderdeenendertig. In het Nederlands is dat gebruikelijk als het tweede cijfer geen nul is. In een jaartal wordt 'honderd' meestal weggelaten, tenzij het een eeuwjaar is.

Deze opdeling is ook nuttig voor cijfers achter de komma (132,035100 = honderdtweeëndertig, vijfendertig duizendste en 100 miljoenste). Dat wordt echter op de meeste scholen niet voldoende aangeleerd. Dan worden cijfers achter de komma stuk voor stuk uitgesproken (hondertweeëndertig-komma-nul-drie-vijf-een-nul-nul) waardoor de interpretatie van het getal wordt bemoeilijkt.

In het Nederlands worden groepen van twee cijfers uitgesproken (groter dan twaalf) in de volgorde eenheden - tientallen, zij het dat dertien en veertien een afwijkende vorm voor drie en vier gebruiken. Dat is niet in alle talen zo. In het Engels draait men vanaf twintig de volgorde om. Zo wordt vijfendertig bijvoorbeeld uitgesproken als thirty(-and-)five (dertig-vijf). In het Frans wordt die volgorde al vanaf zeventien (dix-sept, tien-zeven) gebruikt. In Frankrijk komt verder na soixante-neuf (zestig-negen oftewel 69) het getal soixante-dix (zestig-tien, 70). Dat loopt door tot en met soixante-dix-neuf (zestig-tien-negen, 79), waarna quatre-vingts (vier-twintigen, 80) tot en met quatre-vingts-dix-neuf (99) volgen. In sommige andere landen waar Frans wordt gesproken, zijn wel woorden voor zeventig, tachtig en negentig, maar ook dan wordt het tiental vóór de eenheden uitgesproken. Het Duits gebruikt dezelfde volgorde als het Nederlands.

Groepering[bewerken]

Getallen[bewerken]

Notatie getal Miljard Miljoen Duizend Een
China, India, VS, Japan 583,231,475,923.00 583 231 475 923
Vasteland van Europa 583.231.475.923,00 583 231 475 923
ISO-standaard (31-0) 583 231 475 923,00 583 231 475 923

De groepjes van drie cijfers waarin een getal wordt uitgesproken, worden ook vaak gescheiden genoteerd, gescheiden door punten, komma's of spaties. Dit wordt gedaan om de leesbaarheid te vergroten. Hiermee wordt achteraan begonnen (dus op de plek van het decimaalteken). Het fractionele deel wordt niet met punten gegroepeerd (maar soms wel met spaties).

In China, India, de Angelsaksische landen en Japan wordt een komma gebruikt voor de groepering en een punt als decimaalteken. Op het Europese vasteland is dat andersom.

Om verwarring te voorkomen schrijft een ISO-richtlijn voor dat spaties de voorkeur hebben voor de groepering.

In India, Pakistan en andere Aziatische landen is ook een methode in gebruik waarbij gegroepeerd wordt op honderdduizend- en tienmiljoentallen. Voor honderdduizend wordt het woord lakh gebruikt. 10 lakh is 1 miljoen en wordt geschreven als 10,00,000. Crore, oftewel 100 lakh (10 miljoen), wordt geschreven als 1,00,00,000.

Getallen van vier cijfers[bewerken]

Bij getallen van maximaal vier cijfers (dus ook jaartallen) is groepering niet nodig, men vindt deze getallen ook zonder groepering overzichtelijk. Dit geldt vooral in talen (waaronder het Nederlands) waarin deze getallen in honderdtallen worden uitgesproken (bijvoorbeeld 1945, negentien(honderd)vijfenveertig).

In sommige andere talen is dat anders. Zo schrijft men in bijvoorbeeld het Spaans 1.945, zelfs als het om een jaartal gaat. Dat komt overeen met de uitspraak: (vertaald) "duizend negenhonderdvijfenveertig". Men spreekt dus in duizendtallen, niet in honderdtallen.

Nummers[bewerken]

De eerder beschreven groepering wordt toegepast bij weergave van getallen. Bij nummers zoals telefoon-, bankrekening- of burgerservicenummers, die ook uit cijfers bestaan, wordt het indelen in groepjes anders gedaan. Ook de uitspraak is anders.

Decimaal, als aanduiding van nauwkeurigheid[bewerken]

Notatie getal Aantal
decimalen
nauwkeurig
China, India, VS, Japan 475.923
3
vasteland van Europa 475,923
3
Wetenschappelijk 4,75923×102
3

Uitsluitend in het tientallige stelsel wordt een komma als scheidingsteken gebruikt. De cijfers achter de komma worden nu ook decimalen genoemd. Een getal met twee decimalen is ieder willekeurig getal waarbij twee cijfers achter de komma staan. Eventuele volgnullen veranderen de waarde van het getal niet (2,50 is evenveel als 2,5) maar het aantal decimalen is vaak wel een indicatie van de nauwkeurigheid van het getal, ofwel de mate van afronding.

Andere talstelsels[bewerken]

Traditioneel telt de mens met zijn vingers van een tot tien, bijvoorbeeld door telkens één vinger te strekken en de andere vingers te buigen. Ongetwijfeld is het daardoor dat wij het tientallig stelsel gebruiken. In sommige culturen werd ook twintigtallig gewerkt, doordat men op vingers en tenen telde. Een erfenis daarvan is het Franse woord voor 80, quatre-vingts, dat letterlijk 4 keer 20 betekent. De Soemeriërs en Babyloniërs gebruikten een zestigtallig stelsel, wat nog altijd naklinkt in de verdeling van uren in minuten en die van minuten in seconden.[1][2] De Mesopotamiërs gebruikten een twaalftallig stelsel.

In moderne digitale elektronica wordt gebruikgemaakt van het binaire (tweetallige) stelsel, omdat de twee waarden 0 en 1 goed kunnen worden afgebeeld op de aan- en uitstatus van een schakelaar. Bij het programmeren van computers wordt soms gebruikgemaakt van het octale (8-tallige) of het hexadecimale (16-tallige) stelsel, wat kan worden gezien als een overzichtelijker notatie van het binaire stelsel.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Bartel Leendert Waerden, Ontwakende wetenschap p. 46 (P. Noordhoff, 1950)
  2. Rik Verhulst, In de ban van wiskunde: het cultuurverschijnsel mathematica in beschaving, kunst, natuur en leven pp. 208-210 (Garant, 2006)