Decimaal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Getalsystemen
Arabisch Armeens Attisch Babylonisch Chinees Cyrillisch Egyptisch Etruskisch Grieks Hebreeuws Indiaas Japans Khmer Maya Romeins Thais Binair (2) Octaal (8) Decimaal (10) Duodecimaal (12) Hexadecimaal (16) Sexagesimaal (60)

Decimaal betekent tientallig. Het decimale talstelsel is een stelsel waarbij getallen worden samengesteld uit de cijfers 0 t/m 9. De naam is afgeleid van het Latijnse woord voor tiende (decimus).

Inhoud 1 Beschrijving 1.1 Opbouw van getallen 1.2 Decimale breuken 1.3 Uitspraak 1.4 Groepering 1.4.1 Getallen 1.4.2 Getallen van vier cijfers 1.4.3 Nummers 1.5 Decimaal, als aanduiding van nauwkeurigheid 1.6 Andere talstelsels 2 Zie ook

[bewerken] Beschrijving

[bewerken] Opbouw van getallen

De 10 cijfers van het decimale systeem zijn: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Door combinaties (achter elkaar plaatsen) van deze cijfers kunnen alle natuurlijke getallen verkregen worden. Met de combinatie "427" bedoelen we bijvoorbeeld het getal dat bestaat uit vier honderdtallen, twee tientallen en zeven eenheden.

Formeler: De combinatie "r_nr_n-1...r₀" vertegenwoordigt het getal: r_n×10ⁿ+r_n-1×10^n-1+...+r₀×10⁰. Ieder geheel getal kan op een unieke manier door zo'n combinatie worden vertegenwoordigd. Ieder cijfer in een getal heeft een eigen waarde. Die waarde hangt af van de plaats die het cijfer in een getal heeft. Iedere positie vertegenwoordigt een bepaalde macht van 10.

Het getal 231475923 = 231.475.923 = Tweehonderdeenendertigmiljoen vierhonderdvijfenzeventigduizend negenhonderddrieëntwintig, bestaat uit de volgende onderdelen:

108	107	106	105	104	103	102	101	100	Wetenschappelijke notatie	Spreektaal Schrijfwijze	Eenheid
2									2×108	Tweehonderdmiljoen	200 miljoen
	3								3×107	Dertigmiljoen	30 miljoen
		1							1×106	Miljoen	1 miljoen
			4						4×105	Vierhonderdduizend	400 duizend
				7					7×104	Zeventigduizend	70 duizend
					5				5×103	Vijfduizend	5 duizend
						9			9×102	Negenhonderd	9 honderd
							2		2×101	Twintig	2 tientallen
								3	3×100	Drie	3 eenheden
2	3	1	4	7	5	9	2	3	231475923	Tweehonderdeenendertigmiljoen vierhonderdvijfenzeventigduizend negenhonderddrieëntwintig	231475923 eenheden

[bewerken] Decimale breuken

De bovenstaande tabel vermeldt alleen gehele getallen. De notatie kan worden uitgebreid om decimale breuken weer te geven. Het idee is dat elke eenheid kan worden opgedeeld in 10 tienden, een tiende weer in 10 honderdsten, etc. Formeel wordt gebruik gemaakt van negatieve machten.

In het getal wordt na het cijfer dat de eenheden weergeeft een komma geplaatst, en vervolgens gaan we gewoon verder met het systeem: het eerstvolgende cijfer geeft het aantal malen 10^-1 (dus tienden) aan, het daaropvolgende cijfer het aantal malen 10^-2 (honderdsten), enzovoort. Dit kan worden voortgezet totdat de gewenste nauwkeurigheid is bereikt. Elke breuk kan op deze manier worden weergegeven, maar voor veel mogelijkheden is een oneindig aantal cijfers nodig. De cijfers gaan zich dan wel herhalen zodat er een repeterende breuk ontstaat.

Met het getal 24,31 bedoelen we: 2 tientallen + 4 eenheden + 3 tienden + 1 honderdste.

De plaats van de komma in het getal is in deze notatie cruciaal: het is het referentiepunt waaraan gezien kan worden welk deel van het getal de gehele waarden representeert en welk deel de fracties. Het eerste cijfer links van de komma geeft de eenheden weer, het eerste cijfer rechts van de komma de tienden. Indien er geen fractioneel deel aanwezig is, wordt de komma ook weggelaten: het laatste cijfer is in dat geval het referentiepunt.

[bewerken] Uitspraak

Als decimale getallen worden uitgesproken, gebeurt dat meestal van links naar rechts in deze groepjes van 3 cijfers, die elk als 3-cijferig getal worden uitgesproken, gevolgd door de vermenigvuldigingsfactor die met hun positie overeenkomt:

Miljoenen			Duizendtallen			Eenheden			Wetenschappelijke notatie	Spreektaal Schrijfwijze
2	3	1							231×106	Tweehonderdeenendertigmiljoen
			4	7	5				475×103	Vierhonderdvijfenzeventigduizend
						9	2	3	923	Negenhonderddrieëntwintig
2	3	1	4	7	5	9	2	3	231475923	Tweehonderdeenendertigmiljoen vierhonderdvijfenzeventigduizend negenhonderddrieëntwintig

In sommige talen worden getallen tussen 1101 en 9999 ook in groepen van twee cijfers uitgesproken: 2531 is vijfentwintighonderdeenendertig. In het Nederlands is dat gebruikelijk als het tweede cijfer geen nul is. In een jaartal wordt 'honderd' meestal weggelaten, tenzij het een eeuwjaar is.

Deze opdeling is ook nuttig voor cijfers achter de komma (132,035100 = honderdtweeëndertig, vijfendertig duizendste en 100 miljoenste). Dat wordt echter op de meeste scholen niet voldoende aangeleerd. Dan worden cijfers achter de komma stuk voor stuk uitgesproken (hondertweeëndertig komma nul drie vijf één nul nul) waardoor de interpretatie van het getal wordt bemoeilijkt.

[bewerken] Groepering

[bewerken] Getallen

De groepjes van drie cijfers waarin een getal wordt uitgesproken worden ook vaak gescheiden genoteerd, gescheiden door punten, komma's of spaties. Dit wordt gedaan om de leesbaarheid te vergroten. Hiermee wordt achteraan begonnen (dus op de plek van het decimaalteken). Het fractionele deel wordt niet met punten gegroepeerd (maar soms wel d.m.v. spaties).

In China, India, de Angelsaksische landen en Japan wordt een komma gebruikt voor de groepering en een punt als decimaalteken. Op het Europese vasteland is dat andersom. Om verwarring te voorkomen schrijft een ISO-richtlijn voor dat spaties de voorkeur hebben voor de groepering.

[bewerken] Getallen van vier cijfers

Bij getallen van maximaal vier cijfers (dus ook jaartallen) is groepering niet nodig, men vindt deze getallen ook zonder groepering overzichtelijk. Dit geldt vooral in talen (waaronder het Nederlands) waarin deze getallen in honderdtallen worden uitgesproken (bijvoorbeeld 1945, negentien(honderd)vijfenveertig).

In andere talen is dat soms anders. Zo schrijft men in bijv. het Spaans 1.945, zelfs als het om een jaartal gaat. Dat komt overeen met de uitspraak: (vertaald) "duizend negenhonderdvijfenveertig". Men spreekt dus in duizendtallen, niet in honderdtallen.

[bewerken] Nummers

De eerder beschreven groepering wordt toegepast bij weergave van getallen. Bij nummers zoals bijv. telefoon-, bankrekening- of burgerservicenummers, die ook uit cijfers bestaan, wordt het indelen in groepjes anders gedaan. Ook de uitspraak is anders.

[bewerken] Decimaal, als aanduiding van nauwkeurigheid

Uitsluitend in het tientallige stelsel wordt er een komma als scheidingsteken gebruikt. De cijfers achter de komma worden nu ook decimalen genoemd. Een getal met 2 decimalen is ieder willekeurig getal waarbij 2 cijfers achter de komma staan. Nullen achter de komma veranderen het getal niet, het aantal decimalen is vaak echter wel een indicatie van de nauwkeurigheid van het getal, ofwel de mate van afronding.

[bewerken] Andere talstelsels

Traditioneel telt de mens met zijn vingers van 1 tot 10, bijvoorbeeld door telkens één vinger te strekken en de andere vingers te buigen. Ongetwijfeld is het daardoor dat wij het tientallig stelsel gebruiken. In sommige culturen werd vanouds twintigtallig gewerkt, doordat men op vingers en tenen telde. De Babyloniërs gebruikten een zestigtallig stelsel, wat nog altijd naklinkt in de verdeling van uren en minuten.

In moderne elektronica en halfgeleiders wordt gebruik gemaakt van het binaire (tweetallige) stelsel, omdat de twee waarden 0 en 1 goed kunnen worden afgebeeld op de aan- en uitstatus van een schakelaar. Bij het programmeren van computers wordt soms gebruik gemaakt van het hexadecimale of het octale stelsel, wat kan worden gezien als een overzichtelijke notatie van het binaire stelsel. Zie ook Positiestelsel.

[bewerken] Zie ook

• Binair (2-tallig stelsel)
• Hexadecimaal (16-tallig stelsel)
• Octaal (8-tallig stelsel)