Kettingbreuk

Een enkelvoudige of reguliere kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking van de vorm

$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}}$

met a₀ een willekeurig geheel getal en alle overige a's positieve gehele getallen.

In het algemeen wordt ook een uitdrukking:

$a_0 + \cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3+\,\cdots}}} ,$

waarin naast de bovengenoemde a's nog positieve gehele getallen b voorkomen, een kettingbreuk genoemd.

Reguliere kettingbreuken vormen een eenduidige voorstelling van de reële getallen.

Voorbeelden

Het eenvoudigste voorbeeld is de kettingbreuk voor het gulden getal φ:

$\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\,\cdots}}}$

Een ander voorbeeld is de uitdrukking voor de boogtangensfunctie:

$\arctan(z)=\cfrac{z}{1 + \cfrac{z^2}{3 + \cfrac{4 z^2}{5 + \cfrac{9 z^2}{7 + \cfrac{16 z^2}{9 + \cfrac{25 z^2}{\ddots\,}}}}}}\,$

Notatie

Een reguliere kettingbreuk is geheel bepaald door de getallen a₀, a₁, a₂, .... Er zijn verscheidene notaties bedacht om kettingbreuken met behulp van de a's eenvoudiger weer te geven dan op de min of meer onhandige manier als een echte breuk. Oskar Perron introduceerde in zijn boek „Die Lehre von den Kettenbrüchen“ de volgende veel gebruikte notatie:

$[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots],$

waarin de a's de boven genoemde betekenis hebben.

Daarmee wordt de gulden snede genoteerd als $\varphi =[1;1,1,1,\dots].$

Een andere notatie, van de hand van Pringsheim, is:

$a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3} + \dots$

Verwant daarmee is:

$a_0 + {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 +} {1 \over a_3 +}\dots$

Theorie

Kettingbreuken voorzien in de mogelijkheid een voorstelling te geven van de reële getallen. Wij zijn zeer vertrouwd met de gebruikelijke decimale voorstelling, maar kettingbreuken zijn in sommige opzichten geschikter. Net als in de decimale voorstelling vormen kettingbreuken, met een geschikte voorwaarde, een eenduidige voorstelling van de reële getallen. Daarbij wordt een rationaal getal voorgesteld door een eindige kettingbreuk en een irrationaal getal door een oneindige.

De decimale voorstelling is afhankelijk van de min of meer arbitraire keuze van 10 als grondtal, en in die voorstelling heeft niet elke breuk een eindige representatie. De voorstelling als kettingbreuk heeft deze beperkingen niet, al moet men wel een manier hebben om natuurlijke getallen te noteren.

De gedachte achter de kettingbreuk is dat een reëel getal de som is van een geheel getal en een getal tussen 0 en 1. Dit deel kan geschreven worden als een breuk met een 1 als teller of van boven daardoor benaderd worden. Voor de benadering geldt weer hetzelfde argument. De noemer kan beter benaderd worden door er een breuk met een 1 als teller bij op te tellen. Enzovoort. Zo ontstaat een kettingbreuk.

Als voorbeeld bepalen we de kettingbreuk van 0,345. Daartoe berekenen we:

$0{,}345 = 0 + \frac{345}{1000}$;

$\frac{1000}{345}= 2+\frac{310}{345}$;

$\frac{345}{310} = 1+\frac{35}{310}$;

$\frac{310}{35} = 8+\frac{30}{35}$;

$\frac{35}{30} = 1+\frac 5{30}$;

$\frac{30}{5} = 6$.

Dus 0,345 = [0;2,1,8,1,6]

De berekening komt overeen met het algoritme van Euclides voor het bepalen van de grootste gemene deler. De berekening kan overzichtelijk als volgt kort opgeschreven worden:

1000  0
 345  2
 310  1
  35  8
  30  1
   5  6
   0

Een algemeen rekenschema voor willekeurige reële getallen is analoog aan het algoritme van Euclides:

getal 1/fractie	geheel deel enz.	fractie
0,345	0	0,345
2,898550725	2	0,898550725
1,112903226	1	0,112903226
8,857142857	8	0,857142857
1,166666667	1	0,166666667
6	6	0

Convergenten

Als we een eindige kettingbreuk voor het einde afbreken, of van een oneindige kettingbreuk slechts een eindig deel beschouwen, vormt de zo ontstane kettingbreuk een benadering van de gehele kettingbreuk. Men noemt zo'n eindig deel een convergent en wel de n-de convergent als de convergent is opgebouwd uit de getallen a₀, a₁, ..., a_n. Een convergent is een rationaal getal, omdat hij bestaat uit een eindige kettingbreuk.

De successievelijke convergenten vormen een rij breuken die steeds beter de kettingbreuk benaderen. De convergenten met even index zijn kleiner dan de kettingbreuk en die met oneven index groter. De convergenten vormen in bepaalde zin de beste benadering door breuken.

Voor het gulden getal :

$\varphi =[1;1,1,1,\dots],$

zijn de eerste convergenten:

$[1] = 1\,$

$[1;1]=2\,$

$[1;1,1]=\frac 32 = 1{,}5$

$[1;1,1,1]=\frac 53\approx 1{,}67$

$[1;1,1,1,1]=\frac 85 = 1{,}6$

Een convergent is van de vorm:

$\frac {p_{i}}{q_{i}}\,$.

Met $p_{-2} = 1$, $p_{-1} = 0$, $q_{-2} = 0$ en $q_{-1} = 1$ zijn p_i en q_i uit te rekenen door:

$p_{i} = a_{i} * p_{i-1} + p_{i-2}\,$

$q_{i} = a_{i} * q_{i-1} + q_{i-2}\,$

Eindige kettingbreuken

Een eindige kettingbreuk is van de vorm:

$a_0 + \cfrac 1{a_1+\cfrac 1{a_2+\cdots \cfrac 1{a_n}}}$,

waarin soms a_n ≠ 1 gekozen wordt om een eenduidige voorstelling te krijgen.

Een eindige kettingbreuk is vanzelfsprekend een rationaal getal, maar omgekeerd laat ook elk rationaal getal zich schrijven als eindige kettingbreuk. Dat kan men als volgt inzien (voor het gemak kiezen we a₀ = 0) en bekijken de breuk a/b met a < b. Door delen vinden we:

$b=qa+r\,$

met r < a. Dus is:

$\frac ab = \frac 1{\frac ba} = \frac 1{q+\frac ra}$.

Daarin komt de breuk r/a voor, waarvoor we dezelfde procedure kunnen hanteren als voor a/b. De hele procedure is eindig, omdat steeds de volgende noemers kleiner zijn dan de vorige. Als voorbeeld:

$\frac 38 = \frac 1{\cfrac 83} =\frac 1{2 + \cfrac 23} = \frac 1{2 + \cfrac 1{\cfrac 32}}=\cfrac 1{2 + \cfrac 1{1+\cfrac 12}}$

We kunnen dus schrijven: $\frac 38 = [0;2,1,2]$

Oneindige kettingbreuken

Een oneindige kettingbreuk is gezien het bovenstaande een irrationaal getal. Omgekeerd laat ook elk irrationaal getal zich schrijven als oneindige kettingbreuk. De oneindige kettingbreuken laten zich nog opdelen in periodieke en aperiodieke kettingbreuken.

De meeste irrationale getallen hebben geen periodieke of anderszins regelmatige kettingbreukontwikkeling. Khinchin bewees echter dat voor bijna alle reële getallen de a's uit de kettingbreuk een werkelijk verbazingwekkende eigenschap hebben: hun meetkundig gemiddelde is een constante, nu bekend als de constante van Khinchin, K ≈ 2,6854520010.... En Paul Lévy toonde aan dat de n-de-machtswortels uit de noemers van de n-de convergenten van bijna alle reële getallen convergeren naar dezelfde limiet, de constante van Lévy.

Periodieke oneindige kettingbreuken

Een periodieke oneindige kettingbreuk stelt een irrationaal algebraïsch getal voor, dat een oplossing is van een vierkantsvergelijking met gehele coëfficiënten. Omgekeerd kan elke zodanige oplossing als periodieke oneindige kettingbreuk voorgesteld worden.

Patronen in aperiodieke oneindige kettingbreuken

Het is fascinerend dat sommige aperiodieke oneindige kettingbreuken toch regelmatige patronen vertonen.

Zo is de kettingbreukontwikkeling voor e

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, \dots] \,\!$

En voor elk natuurlijk getal n > 1 is:

$\exp(\tfrac 1n ) = [1; n-1, 1, 1, 3n-1, 1, 1, 5n-1, 1, 1, 7n-1, \dots] \,\!$

De ontwikkeling voor het gulden getal φ is als volgt:

$\varphi = [1; 1, 1, 1, 1, \dots] \,\!$

Voor de tangens geldt:

$\tan(1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, \dots]\,\!$

En voor elk natuurlijk getal n > 1:

$\tan(\tfrac 1n ) = [0; n-1, 1, 3n-2, 1, 5n-2, 1, 7n-2, \dots]\,\!.$

En ook:

$\tanh(\tfrac 1n)= [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 17n, 19n, \dots] \,\!$

Aparte vermelding verdient ook de kettingbreuk:

$S = [1; 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots]\,\!,$

de voorstelling van

$S = \frac{I_0(2)}{I_1(2)},$

waarin I_n de gemodificeerde Besselfunctie van de eerste soort is.

Het getal π

Het begin van de kettingbreuk voor π is [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]. De successievelijk benaderingen zijn: 3, 22/7, 333/106, 355/113. De laatste, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,14159292035..., is al dicht bij de werkelijke waarde van π.

Deze reguliere kettingbreukontwikkeling voor π is zeer onregelmatig en vertoont geen enkel regelmatig patroon. De beide volgende ontwikkelingen met algemene kettingbreuken daarentegen zijn uiterst regelmatig:

$\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + \cfrac{49}{\ddots}}}}}}}}$

en:

$\pi=3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{9}{6 + \cfrac{25}{6 + \cfrac{49}{6 + \cfrac{81}{6 + \cfrac{121}{\ddots\,}}}}}}$