Algebraïsch getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen
Gehele getallen
Rationale getallen
Reële getallen
Complexe getallen
Quaternionen
p-adische getallen
Surreële getallen
Transfiniete getallen

Irrationale getallen
Algebraïsche getallen
Transcendente getallen
Imaginaire getallen

In wiskunde is een algebraïsch getal een reëel of complex getal dat een nulpunt is van een polynoom met gehele coëfficiënten. De polynoom is dus van de vorm

 f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

waarin n > 0, alle ai geheel zijn en an ongelijk aan 0 is.

De polynoom f mag ook met rationale coëfficiënten worden gekozen, een nulpunt van een polynoom met rationale coëfficiënten is ook het nulpunt van een polynoom met gehele getallen.

Als een getal meetkundig kan worden voorgesteld met een constructie met passer en liniaal, dan is het zeker algebraïsch. Het omgekeerde is niet waar: de sinus van 10° en de derdemachtswortel uit twee zijn algebraïsche getallen, maar het zijn tevens klassieke voorbeelden van niet-construeerbare getallen (resp. driedeling van de hoek van 30° - die wel degelijk construeerbaar is - en verdubbeling van het volume van een kubus).

Algebraïsche getallen ten opzichte van de rationale getallen[bewerken]

Alle rationale getallen zijn algebraïsch, want een rationaal getal p/q (met p en q gehele getallen) is een oplossing van de vergelijking

 q x - p = 0

Ook alle wortels van rationale getallen zijn algebraïsch, want een n-de-machtswortel van een rationaal getal p/q is een oplossing van de vergelijking

 q x^n - p = 0

Veel algebraïsche getallen kunnen worden opgebouwd vanuit de gehele getallen met behulp van de basisoperaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en het nemen van n-de-machtswortels. Dit geldt echter niet voor alle algebraïsche getallen. Een tegenvoorbeeld wordt gevormd door de oplossingen van de volgende vijfdegraadsvergelijking.

 x^5+x+1=0

De oplossingen van deze vergelijking zijn duidelijk algebraïsch, maar zij kunnen niet worden uitgedrukt met wortelvormen. Dat is in overeenstemming met de stelling van Abel-Ruffini. Het omgekeerde geldt wel: alle getallen die met wortelvormen zijn te schijven, zijn algebraïsche getallen.

Getallenlichamen[bewerken]

Getallen die met wortelvormen kunnen worden geschreven[bewerken]

Een bijzondere verzameling binnen de algebraïsche getallen zijn de getallen die met wortels kunnen worden geschreven. Daarbij mogen vierkantswortels en wortels van een hogere macht worden gebruikt en mag de vierkantswortel van een negatief getal blijven staan. Bijvoorbeeld

 \frac {1+i \sqrt 3}{2}

is een algebraïsch getal dat met wortelvormen en de basisoperaties kan worden geschreven.

Algebraïsche getallenlichamen[bewerken]

Noem \mathbb{A} de verzameling van alle algebraïsche getallen. \mathbb{A} is algebraïsch gesloten, dat wil zeggen dat de nulpunten van een polynoom met coëfficiënten in \mathbb{A}, zelf ook in \mathbb{A} liggen. De inversen van algebraïsche getallen, lineaire combinaties en producten van algebraïsche getallen zijn zelf ook weer algebraïsch.

\mathbb{A} is een deellichaam van de complexe getallen \C, maar is kleiner dan \C. Als gevolg van de hoofdstelling van de algebra liggen alle algebraïsche getallen in het complexe vlak.

 \mathbb{Q} \subset \mathbb{A} \subset \mathbb{C}

\mathbb{A} heet de algebraïsche sluiting van \Q. Noteer \overline{\Q}=\mathbb{A}. \mathbb{A} is net zoals \Q aftelbaar. \C is de algebraïsche sluiting van de reële getallen \R.

Als aan \mathbb{Q} de nulpunten van een of meer polynomen zijn toegevoegd heet het lichaam dat ontstaat, een algebraïsch getallenlichaam. Noteer \mathbb{Q}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) voor het algebraïsche getallenlichaam dat is ontstaan door aan \mathbb{Q} de nulpunten \alpha_1,\ldots,\alpha_n van de polynomen f_1,\ldots,f_n toe te voegen.

Voorbeeld

\alpha_1=\sqrt[3]2 is een nulpunt van f_1(x)=x^3-2 en \alpha_2=-\tfrac 12+\tfrac 12 i\sqrt 3\ van f_2(x)=x^2+x+1. Het algebraïsche getallenlichaam dat ontstaat door toevoegen van \alpha_1 en \alpha_2 aan \mathbb{Q} wordt \mathbb{Q}(\alpha_1,\alpha_2) genoemd. \sqrt[3]2 en -\tfrac 12+\tfrac 12 i\sqrt 3 en zijn beide algebraïsche getallen. Ook is \mathbb{Q}(\alpha_1,\alpha_2) \subset \mathbb{C}, de dimensie van \mathbb{Q}(\sqrt[3]2,-\tfrac 12+\tfrac 12 i\sqrt 3) over \Q is 6.

Transcendente getallen[bewerken]

Reële (of complexe) getallen die niet algebraïsch zijn, heten transcendente getallen. Het aantal algebraïsche getallen is aftelbaar oneindig, omdat het aantal polynomen met gehele coëfficiënten (en het aantal nulpunten per polynoom) aftelbaar is. Er zijn overaftelbaar veel transcendente getallen.

Zie ook[bewerken]