Algebraïsch getal

Getalverzamelingen

Natuurlijke getallen Gehele getallen Rationale getallen Reële getallen Complexe getallen Quaternionen p-adische getallen Surreële getallen Transfiniete getallen

Irrationale getallen Algebraïsche getallen Transcendente getallen Imaginaire getallen

In wiskunde is een algebraïsch getal een reëel of complex getal dat een nulpunt is van een polynoom (f(x)) met gehele (of equivalent met rationale) coëfficiënten, dus van de vorm

$\, f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

waarin n > 0, alle a_i geheel of rationaal zijn en a_n ongelijk aan 0 is.

Wanneer een getal meetkundig kan worden voorgesteld met een constructie met passer en liniaal, dan is het zeker algebraïsch. Het omgekeerde is niet waar: de sinus van 10° en de derdemachtswortel uit twee zijn algebraïsche getallen, maar het zijn tevens klassieke voorbeelden van niet-construeerbare getallen (resp. driedeling van de hoek van 30° - die wel degelijk construeerbaar is - en verdubbeling van het volume van een kubus).

Algebraïsche getallen ten opzichte van de rationale getallen

Alle rationale getallen zijn algebraïsch, want een rationaal getal $p/q$ (met $p$ en $q$ gehele getallen) is een oplossing van de vergelijking

$\, q x - p = 0$

Ook alle wortels van rationale getallen zijn algebraïsch, want een $n$ de-machtswortel van een rationaal getal $p/q$ is een oplossing van de vergelijking

$\, q x^n - p = 0$

Veel algebraïsche getallen kunnen worden opgebouwd vanuit de gehele getallen met behulp van de basisoperaties optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen en het nemen van $n$ de-machtswortels. Dit geldt echter niet voor alle algebraïsche getallen. Een tegenvoorbeeld is de volgende vijfdegraadsvergelijking.

$\, x^5+x+1=0$

De oplossingen van deze vergelijking zijn duidelijk algebraïsch, maar zij kunnen niet worden uitgedrukt met wortelvormen. Dat is in overeenstemming met de stelling van Abel-Ruffini. Het omgekeerde geldt wel: alle getallen, die met wortelvormen zijn te schijven, zijn algebraïsche getallen.

Getallenlichamen

Alle algebraïsche getallen

Noem $\mathbb{A}$ de verzameling van alle algebraïsche getallen. $\mathbb{A}$ is algebraïsch gesloten, dat wil zeggen dat de nulpunten van een polynoom met coëfficiënten in $\mathbb{A}$, zelf ook in $\mathbb{A}$ liggen. De inversen van algebraïsche getallen, lineaire combinaties en producten van algebraïsche getallen zijn zelf ook weer algebraïsch.

$\mathbb{A}$ is een deellichaam van de complexe getallen $\C$, maar is kleiner dan $\C$. Als gevolg van de hoofdstelling van de algebra liggen alle algebraïsche getallen in het complexe vlak.

$\mathbb{Q} \subset \mathbb{A} \subset \mathbb{C}$

$\mathbb{A}$ heet de algebraïsche sluiting van $\Q$. Noteer $\overline{\Q}=\mathbb{A}$. $\mathbb{A}$ is net zoals $\Q$ aftelbaar. $\C$ is de algebraïsche sluiting van de reële getallen $\R$.

Algebraïsche getallenlichamen

Wanneer aan $\mathbb{Q}$ de wortel van alleen één bepaald polynoom is toegevoegd, of van een aantal bepaalde polynomen, heet het lichaam dat ontstaat een algebraïsch getallenlichaam. Noteer $\mathbb{Q}(\alpha)$ voor het algebraïsche getallenlichaam, dat is ontstaan door aan $\mathbb{Q}$ de wortel $\alpha$ van een bepaald polynoom $f$ toe te voegen. Meer dan één wortel mag ook.

$\omega=-1/2+1/2 i\sqrt(3), f(x)=x^3-2$.

De wortels van $f$ liggen in het lichaam

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)$.

$\sqrt[3]2$ en $\omega$ en zijn beiden een algebraïsch getal. Ook $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega) \subset \mathbb{C}$ , de dimensie van $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)$ over $\Q$ is 6.

Transcendente getallen

Reële getallen die niet algebraïsch zijn, heten transcendente getallen. Het aantal algebraïsche getallen is aftelbaar oneindig omdat het aantal polynomen met gehele coëfficiënten (en het aantal nulpunten per polynoom) aftelbaar is. Er zijn overaftelbaar veel transcendente getallen.

Zie ook

• Algebraïsch geheel getal