Hoofdstelling van de algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De hoofdstelling van de algebra, een belangrijke stelling binnen de wiskunde, houdt in dat elke niet constante polynoom in één enkele variabele met complexe coëfficiënten ten minste één complexe wortel heeft. Dit is equivalent met de vaststelling dat het veld (Nederlandse term: lichaam) van de complex getallen, \mathbb{C}, algebraïsch gesloten is.

De stelling houdt tevens in dat elke veelterm in één enkele variabele

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... +a_n x^n\,

van de graad n (dat wil zeggen a_n \neq 0), met complexe coëfficiënten a_k, kan worden ontbonden in precies n factoren:

a_n(x - b_1) \cdot (x - b_2) \cdot \dots \cdot (x - b_n)

Dit laatste komt, in woorden, neer op het volgende: elke niet-nulzijnde enkele-variabele polynoom, met complexe coëfficiënten, heeft precies zoveel wortels als zijn graad, onder voorwaarde dat elk dubbele wortel ook dubbel wordt geteld. Hoewel dit op het eerste gezicht een sterkere stelling lijkt dan de bewering dat er tenminste één wortel is, is dit een gevolg ervan, hieruit af te leiden door het gebruik van opeenvolgende polynomiale deling door lineaire factoren.

Ondanks de naam is er geen zuiver algebraïsch bewijs van de stelling bekend, en vele wiskundigen zijn van mening dat zo'n bewijs ook niet bestaat.[1] Bovendien is de stelling ook niet fundamenteel in de moderne algebra; de naam werd gegeven in een tijd toen algebra zich beperkte tot het oplossen van polynomiale vergelijkingen met reële of complexe coëfficiënten.

Wortels[bewerken]

De getallen b_1,b_2,\ldots,b_n\, heten de wortels of nulpunten van de polynoom. Het aantal wortels is dus gelijk aan de graad van de polynoom, zij het dat sommige wortels kunnen samenvallen; we spreken in dat geval van meervoudige wortels.

Als de polynoom reëel is, dat wil zeggen dat alle a_k reële getallen zijn, komen alle niet-reële wortels voor als geconjugeerde paren, dus met z is dan ook de geconjugeerde \overline z een wortel van de polynomiale vergelijking. Reële polynomen van een oneven graad hebben dientengevolge altijd minstens één reële wortel.

Als de coëfficiënten van de polynoom reëel, positief en afnemend zijn (dus  a_0>a_1>...>a_i>...>a_n>0), liggen de wortels binnen de eenheidscirkel in het complexe vlak.

Geschiedenis[bewerken]

Peter Rothe (Petrus Roth) schreef in zijn boek Arithmetica Philosophica (gepubliceerd in 1608) dat een polynomiale vergelijking van graad n (met reële coëfficiënten) n oplossingen zou kunnen hebben, terwijl Albert Girard in zijn boek L'invention nouvelle en l'Algèbre (gepubliceerd in 1629) beweert dat een polynomiale vergelijking van graad n precies n oplossingen heeft, maar hij stelde niet dat dit reële getallen moesten zijn. Bovendien voegde hij er aan toe dat zijn stelling opgaat, "tenzij de vergelijking incompleet is", waarmee hij bedoelde dat geen enkele coëfficiënt gelijk mag zijn aan  0. Uit zijn uitleg in detail blijkt echter dat hij gelooft dat zijn stelling altijd opgaat; hij laat bijvoorbeeld zien dat de vergelijking

x^4 = 4x - 3 \,,

hoewel incompleet, vier oplossingen (hij telt de dubbelen mee) heeft: 1 (twee keer, een meervoudig nulpunt),−1 + i2, en −1 − i2.

Zoals hieronder nogmaals zal worden aangegeven volgt uit de fundamentele hoofdstelling van de algebra dat iedere niet-constante veelterm met reële coëfficiënten geschreven kan worden als een product van veeltermen met reële coëfficiënten van graad 1 of 2. In 1702 beweerde Leibniz echter dat geen polynomen van het type

 x^4 + a^4 \,,

(met a een reëel getal en a verschillend van 0) op zo'n manier geschreven kunnen worden. Later beweerde Nikolaus Bernoulli hetzelfde met betrekking tot de polynoom

 x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x + 4, \,,

maar hij kreeg een brief van Euler in 1742 [2] waarin hem door Euler werd verteld dat zijn polynoom gelijk bleek te zijn aan

(x^2-(2+\alpha)x+1+\sqrt{7}+\alpha)(x^2-(2-\alpha)x+1+\sqrt{7}-\alpha),

waar α de vierkantswordel van 4 + 2√7 is. Ook werd door Euler vastgesteld dat

x^4+a^4=(x^2+a\sqrt{2}\cdot x+a^2)(x^2-a\sqrt{2}\cdot x+a^2).\,

In 1746 deed d'Alembert een eerste poging de stelling te bewijzen, maar zijn bewijs was onvolledig. Naast andere problemen, veronderstelde zijn bewijs impliciet een stelling (nu bekend als de stelling van Puiseux), die pas een eeuw later bewezen zou worden. Andere pogingen werden gedaan door Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) en Laplace (1795). Deze laatste vier pogingen veronderstelden impliciet de stelling van Girard, om preciezer te zijn, het bestaan van de oplossingen werd aangenomen en alles wat werd aangetoond was dat hun vorm was a + bi voor sommige reële getallen a en b. In moderne terminologie verondestelden Euler, de Foncenex, Lagrange en Laplace het bestaan van een splitsing veld van de polynoom p(z).

Aan het einde van de 18de eeuw werden er twee nieuwe bewijzen gepubliceerd, die niet uitgingen van het bestaan van de wortels. Een van deze, het voornamelijk algebraïsche bewijs van James Wood, werd in 1798 gepubliceerd, maar werd volledig genegeerd. Later bleek dat Woods bewijs een algebraïsch gat bevatte. [3] Het andere bewijs werd in 1799 gepubliceerd door Gauss en was vooral meetkundig van aard, maar dit bewijs bevatte een topologisch gat. Het eerste strikte bewijs werd in 1806 gepubliceerd door Argand; het was ook Argand die de fundamentele hoofdstelling van de algebra voor het eerst formuleerde voor polynomen met complexe coëfficiënten, in plaats van alleen reële coëfficiënten. Gauss kwam in 1816 met twee andere bewijzen en in 1849, vijftig jaar later, met een nieuwere versie van zijn oorspronkelijke bewijs uit 1799.

Het eerste leerboek met een bewijs van de stelling was Cauchy's Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). Het bevatte Argands bewijs, hoewel Argand hier niet voor werd gecrediteerd.

Geen enkele van de tot nu toe genoemde bewijzen zijn constructief. Het was Weierstrass die voor het eerst, in het midden van de 19e eeuw, het probleem van het vinden van een constructieve bewijs van de fundamentele hoofdstelling van de algebra aansneed. Hij presenteerde in 1891 zijn oplossing, die in de moderne terminologie neerkomt op een combinatie van de Durand-Kerner methode en het homotopisch voortzettings principe, Een ander bewijs van dit type werd in 1940 verkregen door Hellmuth Kneser en in 1981 door zijn zoon Martin Kneser vereenvoudigd.

Bewijsmethode[bewerken]

Het bewijs van de hoofdstelling is noodzakelijkerwijs niet zuiver algebraïsch, maar moet op één of andere manier gebruikmaken van de bijzondere eigenschappen van de complexe getallen. De kern van het bewijs bestaat erin, met behulp van complexe analyse aan te tonen dat elke niet-constante complexe veelterm P(x) een nulpunt heeft.

Op hoofdlijnen loopt het bewijs uit het ongerijmde als volgt. Stel dat de complexe veeltermfunctie x \mapsto P(x) geen nulpunten heeft. Dan heeft |P(x)|, een minimum groter dan nul. Hieruit volgt dat 1/P(x) een begrensde analytische functie is waarvan het domein het hele complexe vlak omvat. Met behulp van de stelling van Liouville volgt nu dat 1/P, en dus ook P, constant is.

Zie ook[bewerken]

Noten[bewerken]

  1. Zie § 1,9 van R. Remmerts tekst The fundamental theorem of Algebra (De hoofdstelling van de algebra).
  2. Zie sectie Le rôle d'Euler (De rol van Euler) in C. Gilains artikel Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral.
  3. Ten aanzien van Woods bewijs, zie het artikel A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra (Een vergeten artikel over de fundamentele hoofdstelling van algebra), door Frank Smithies.

Recente literatuur[bewerken]

  • (fr) Gilain, Christian, 1991, Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral, periodical, Archive for History of Exact Sciences, volume 42, number 2, pagina's 91-136, issn = 0003-9519
  • (en) Remmert, Reinhold, 1991, The Fundamental Theorem of Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, Springer Science+Business Media|Springer-Verlag, isbn = 978-0-387-97497-2
  • (en) Smithies, Frank, 2000, A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra|periodical = Notes & Records of the Royal Society, volume = 54 ,number = 3, pages = 333-341, issn = 0035-9149