Functietheorie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Plot van de functie f(x)=(x2-1)(x-2-i)2/(x2+2+2i), waarbij de tint het functie-argument en de helderheid de modulus weergeeft.

Functietheorie, complexe functietheorie of complexe analyse is een van de klassieke takken van de wiskunde, die in het bijzonder de differentieerbare functies van complexe getallen bestudeert. Dergelijke functies heten ook holomorf, meromorf of (complex) analytisch. De complexe analyse is van groot nut in vele takken van de wiskunde, waaronder de getaltheorie en de toegepaste wiskunde. Omdat de scheidbare reële en imaginaire delen van enige analytische functie moeten voldoen aan de Laplace-vergelijking, is de complexe analyse breed toepasbaar op twee-dimensionale problemen in de natuurkunde.

Geschiedenis[bewerken]

De complexe analyse heeft haar wortels in het werk van de 18e eeuwse wiskundige Euler. Grote bijdragen zijn geleverd door Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass en nog velen in de 20e eeuw. De complexe analyse, in het bijzonder de theorie van de hoekgetrouwe afbeeldingen, heeft vele natuurkundige toepassingen. Zij wordt ook veel gebruikt in de analytische getaltheorie. De laatste twee decennia heeft de complexe analyse populair een nieuwe impuls gekregen door de complexe dynamica en de plaatjes van fractals, die worden geproduceerd door het itereren van holomorfe functies. De meest populaire fractals komen uit de Mandelbrotverzameling. Een andere belangrijke toepassing vindt de complexe analyse in de snaartheorie, een conforme invariante kwantumveldentheorie.

Complexe functies[bewerken]

Een complexe functie is een functie, waarbij de onafhankelijke en de afhankelijke variabelen beide complexe getallen zijn. Om precies te zijn is een complexe functie een functie, waarvan zowel het domein als het bereik deelverzamelingen zijn van het complexe vlak.

Voor een willekeurige complexe functie kunnen zowel de onafhankelijke en afhankelijke variabele gescheiden worden in een reëel en imaginair gedeelte:

z = x + iy \, en
w = f(z) = u(z) + iv(z) \,

waar x,y \in \mathbb{R}\, en u(z), v(z)\, reëelwaardige functies zijn.

In andere woorden de componenten van de functie f(z),

u = u(x,y)\, en
v = v(x,y),\,

kunnen worden geïnterpreteerd als reëelwaardige functies van de twee reële variabelen, x en y.

De basisconcepten van de complexe analyse worden vaak geïntroduceerd door de elementaire reële functies (zoals exponentiële functies, logaritmen en goniometrische functies) naar het complexe domein uit te breiden.

Afgeleiden en de Cauchy-Riemann-vergelijkingen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Cauchy-Riemann-vergelijkingen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Net als in de reële analyse kan een "gladde" complexe functie w = f(z) een afgeleide op een bepaald punt in haar domein Ω hebben. In feite is de definitie van de afgeleide

f^\prime(z) = \frac{dw}{dz} = \lim_{h \to 0}\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\,

analoog aan het reële geval, maar met een heel belangrijk verschil. In de reële analyse kan de limiet alleen worden benaderd door langs de x-as te bewegen, dus eendimensionaal. In de complexe analyse kan de limiet worden benaderd vanuit elke richting in het tweedimensionale complexe vlak, en voor het bestaan van de afgeleide moet de limiet hetzelfde zijn, ongeacht de richting van de nadering van h naar 0.

Als deze limiet, de afgeleide, voor ieder punt z in Ω bestaat, dan zegt men dat f(z) differentieerbaar op Ω is. Het kan worden aangetoond dat een willekeurige differentieerbare f(z) analytisch is. Differentieerbaarheid van een complexe functie is dus een veel zwaardere eis dan voor reëelwaardige functies. In de berekening van de reële getallen kunnen wij een functie f(x) construeren, die overal een eerste afgeleide heeft, maar waarvoor de tweede afgeleide in één of meer punten in het domein van deze functie niet bestaat. Aan de andere kant als een functie f(z) eenmaal differentieerbaar is in een omgeving in het complexe vlak, dan is deze functie in diezelfde omgeving ook oneindig differentieerbaar.

Door toepassing van de methoden van de vectoranalyse om de partiële afgeleiden van de twee reële functies u(x, y) en v(x, y) waarin f(z) kan worden ontleed, en door twee paden die leiden tot een punt z in Ω te beschouwen, kan worden aangetoond dat het bestaan van een afgeleide impliceert dat


f^\prime(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}.\,

Wanneer we de reële en de imaginaire delen van deze twee uitdrukkingen aan elkaar gelijkstellen, ontstaat de traditionele formulering van de Cauchy-Riemann-vergelijkingen:


\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,
of in een andere gebruikelijke notatie, u_x=v_y \qquad u_y=-v_x.\,

Bij het differentiëren van dit systeem van twee partiële differentiaalvergelijkingen eerst met betrekking tot x, en vervolgens met betrekking tot y, kan aangetoond worden dat


\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \qquad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0\,
of in een andere gebruikelijke notatie, u_{xx} + u_{yy} = v_{xx} + v_{yy} = 0.\,

Met andere woorden, het reële en het imaginaire deel van een differentieerbare functie van een complexe variabele zijn harmonische functies, omdat zij voldoen aan de Laplacevergelijking.

Holomorfe functies[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Holomorfe functie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Holomorfe functies zijn complexe functies die zijn gedefinieerd op een open deelverzameling van het complexe vlak en die differentieerbaar zijn. Complexe differentieerbaarheid heeft veel sterkere consequenties dan de gewone (reële) differentieerbaarheid. Holomorfe functies zijn bijvoorbeeld oneindig differentieerbaar, een feit dat absoluut niet het geval is voor reële differentieerbare functies. De meeste elementaire functies, met inbegrip van de exponentiële functie, de goniometrische functies en alle polynomiale functies, zijn holomorf.

Zie ook: analytische functie, holomorfe schoof en vectorbundels.

De belangrijkste resultaten[bewerken]

Een centraal instrument in de complexe analyse is de lijnintegraal. De integraal langs een gesloten pad van een functie, die overal in het omsloten gebied holomorf is, is altijd gelijk aan nul; dit is de integraalstelling van Cauchy. De waarden van een holomorfe functie binnen een schijf kunnen worden berekend door een zekere padintegraal op de rand van de schijf (integraalformule van Cauchy). Padintegralen in het complexe vlak worden vaak gebruikt om te ingewikkelde reële bepaalde integralen uit te rekenen. Hier is onder meer de theorie van de residuen nuttig (zie methoden van contourintegratie). Als een functie op enig punt een pool of een singulariteit heeft, dat is, dat op dat punt de waarden "opblazen" en geen eindige waarde meer hebben, dan kan men het residu van de functie op die pool berekenen en deze residuen kunnen vervolgens worden gebruikt voor het berekenen van padintegralen voor deze functie. Dit is de strekking van de krachtige residustelling. Het opmerkelijke gedrag van holomorfe functies in de buurt van essentiële singulariteiten wordt beschreven door de stelling van Picard. Functies die alleen polen hebben, maar geen essentiële singulariteiten, worden meromorf genoemd. Laurentreeksen zijn vergelijkbaar met Taylorreeksen, maar kunnen worden gebruikt om het gedrag van functies de buurt van singulariteiten te bestuderen.

Een begrensde functie die in het gehele complexe vlak holomorf is, moet constant zijn. Dit is de stelling van Liouville. Deze kan worden gebruikt om een natuurlijk en kort bewijs te geven voor de hoofdstelling van de algebra, die stelt dat het veld/lichaam van de complexe getallen algebraïsch gesloten is.

Een belangrijke eigenschap van holomorfe functies is dat, als een functie holomorf is over een enkelvoudig samenhangend domein, de waarden van deze functie volledig worden bepaald door zijn waarden op een willekeurig kleiner subdomein. Van de functie op het grotere domein wordt gezegd dat deze functie analytisch voortgezet is van haar waarden op het kleinere domein. Dit maakt de uitbreiding van de definitie van functies mogelijk, zoals de Riemann-zeta-functie, die oorspronkelijk worden gedefinieerd in termen van oneindige sommen, die slechts op beperkte domeinen convergeren naar bijna het gehele complexe vlak. Soms, zoals in het geval van de natuurlijke logaritme, is het onmogelijk om een holomorfe functie analytisch voort te zetten naar een niet-enkelvoudig verbonden domein in het complexe vlak, maar is het wel mogelijk de functie uit te breiden naar een holomorfe functie op een nauw verwant oppervlak, dat bekendstaat als een Riemann-oppervlak.

Dit alles heeft betrekking op complexe analyse in één variabele. Er bestaat ook een zeer rijke theorie van de meer dan één complexe variabele, waar analytische eigenschappen als de machtreeks-expansie nog steeds opgeld doen, terwijl de meeste van de meetkundige eigenschappen van holomorfe functies in één complexe dimensie (zoals hoekgetrouwheid) niet voorkomen. Een voorbeeld is de afbeeldingstelling van Riemann over de hoekgetrouwe relatie van zekere domeinen in het complexe vlak, misschien wel het belangrijkste resultaat in de eendimensionale theorie; deze geldt dus niet voor hogere dimensies.

Tenslotte wordt de complexe analyse ook toegepast in veel verschillende deelgebieden binnen de technische wiskunde, in het bijzonder in de signaalanalyse en de energietechniek.