Rotatie (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Door rotatie over 60 graden om O wordt A afgebeeld op A'.

Een rotatie in de meetkunde is een isometrie in het platte vlak, die alle punten over een vaste hoek om een vast punt draait. Rotatie behoudt oriëntatie van een figuur, en kent in het platte vlak één dekpunt.

Formele definitie[bewerken]

Strikt genomen zijn enkele van de hogergenoemde eisen overbodig, want rechtstreekse gevolgen van de andere. De volgende definitie is minimaal:

Een rotatie is een isometrie van het vlak, met minstens één dekpunt, die de oriëntatie bewaart.

Een isometrie met een dekpunt en die de oriëntatie omkeert, heet ook wel rotatie-inversie.

Het platte vlak[bewerken]

Het punt (x,y) in Cartesische coördinaten wordt bij rotatie om de oorsprong (0,0) met hoek φ afgebeeld op (x cos φ - y sin φ, x sin φ + y cos φ). Deze rotatie kan daarom als volgt als matrixvermenigvuldiging worden weergegeven:

 \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

waarbij het punt (x',y') het resultaat van de rotatie om de oorsprong vormt. Hieruit volgen de formules:

\begin{align}
x'&=x\cos\varphi-y\sin\varphi\\
y'&=x\sin\varphi+y\cos\varphi
\end{align}

Rotatie om P[bewerken]

Wanneer we punt (x,y) over een bepaald punt P = (a,b) willen roteren, transleren we P naar de oorsprong, voeren de rotatie uit en transleren de uitkomst terug. Enkele kleine toevoegingen op de eerder gedefinieerde formules, geeft:

\begin{align}
x'&=(x-a)\cos\phi-(y-b)\sin\phi+a\\
y'&=(x-a)\sin\phi+(y-b)\cos\phi+b
\end{align}

Complex getal[bewerken]

Een complex getal z = x + iy wordt in het complexe vlak voorgesteld door het punt (x,y). Het resultaat van rotatie over een hoek φ is dus:

z' = x' + i y' = (x \cos \varphi - y \sin \varphi) + i (x \sin \varphi + y \cos \varphi).

Dit komt neer op vermenigvuldiging met de factor:

e^{i\varphi}.

Met behulp van Eulers formule komen we op:

\begin{align}
z' &= e^{i\varphi}z \\
   &= (\cos \varphi + i \sin \varphi) (x + i y) \\
   &= (x \cos \varphi + i y \cos \varphi + i x \sin \varphi - y \sin \phi) \\
   &= (x \cos \varphi - y \sin \varphi) + i (x \sin \varphi + y \cos \varphi) \\
   &= x' + i y'
\end{align}

Verband met spiegeling[bewerken]

De samenstelling van twee spiegelingen in twee snijdende lijnen is gelijk aan de rotatie om het snijpunt van deze twee spiegellijnen over een hoek twee keer zo groot als de gerichte hoek van de eerste naar de tweede spiegellijn.

Groepseigenschappen[bewerken]

De isometrieën van het vlak vormen een (niet-abelse) groep voor de bewerking samenstelling. De oriëntatiebewarende isometrieën vormen een deelgroep. De rotaties vormen géén deelgroep, bijvoorbeeld omdat de samenstelling van twee rotaties over 180° omheen twee verschillende punten een translatie is en dus geen dekpunt heeft. De rotaties met een gegeven vast dekpunt vormen een abelse groep.

Hogere dimensies[bewerken]

Vlakke rotaties kunnen worden uitgebreid tot een ruimte van dimensie n>2 door te roteren omheen een (n-2)-dimensionale onveranderlijke deelruimte. De meeste bronnen hanteren evenwel de volgende, algemenere definitie:

Een rotatie is een isometrie van de n-dimensionale ruimte, met minstens één dekpunt, die de oriëntatie bewaart.

In drie dimensies komt dit op hetzelfde neer: elke ruimtelijke rotatie heeft een vaste rotatie-as.

De rotaties van de n-dimensionale reële ruimte om een gegeven, vast dekpunt vormen een groep, de speciale orthogonale groep SO(n). Deze groep is niet abels als n>2.

Een rotatie of rotatie-inversie van \mathbb{R}^n die de oorsprong invariant laat, is een lineaire transformatie. De matrix van een dergelijke lineaire transformatie wordt gekarakteriseerd door de eigenschap dat hij de inverse is van zijn eigen getransponeerde. Rotaties hebben determinant 1, rotatie-inversies hebben determinant -1.

Rotaties om de oorsprong in \mathbb{R}^3 hebben, naast hun klassieke matrixvoorstelling, ook een voorstelling aan de hand van de hoeken van Euler.

Zie ook[bewerken]