Getransponeerde matrix

In de lineaire algebra is de getransponeerde matrix (meestal kortweg de getransponeerde genoemd) van een matrix, A, een andere matrix, A^T (ook geschreven als A^tr, ^tA, of A′), die ontstaat door een van de onderstaande equivalente acties uit te voeren:

• Schrijf de rijen van A als de kolommen van A^T
• Schrijf de kolommen van A als de rijen van A^T
• Spiegel A over zijn hoofddiagonaal (deze begint links bovenaan) om zo A^T te verkrijgen. Dit kan uiteraard alleen als A een vierkante matrix is.

Definitie

Formeel is de getransponeerde matrix van een m × n matrix A de n × m matrix

$\mathbf{A}^\mathrm{T}_{ij}$ die gedefinieerd is als $\mathbf{A}_{ji}$ voor $1 \le i \le n,$ $1 \le j \le m.$

Voorbeeld

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;$

• $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

Eigenschappen

Voor de matrices A, B en de scalair c hebben we de volgende eigenschappen van de transpositie-operatie:

1. $\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,$

   De getransponeerde matrix van een getransponeerde matrix is de oorspronkelijke matrix. Transponeren is een involutie (een operatie die haar eigen inverse is).

2. $(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,$

   Transponeren behoudt optelling.

3. $\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,$

   Merk op dat de volgorde van de factoren omdraait. Hieruit kunnen we afleiden dat een vierkante matrix A inverteerbaar is dan en slechts dan als A^T inverteerbaar is, en in dat geval hebben we (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹. Het is relatief eenvoudig om dit resultaat uit te breiden naar het algemenere geval van verschillende matrices, hier vinden we dat (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T.

4. $(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,$

   De getransponeerde van een scalair is dezelfde scalair. Samen met (2) volgt daaruit dat het nemen van de getransponeerde een lineaire afbeelding is van de ruimte van m × n matrices naar de ruimte van alle n × m matrices.

5. $\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,$

   De determinant van een matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde matrix.

6. Het inwendig product van twee kolomvectoren a en b kan worden berekend als

   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},$

   wat geschreven wordt als a_i bⁱ in Einsteinnotatie.

7. Als matrix A alleen reële elementen heeft, dan is A^TA een positief-semidefiniete matrix.
8. Als A over een veld is genomen, dan is A gelijksoortig met A^T.
9. $(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,$

   Voor een inverteerbare matrix A is de getransponeerde matrix van de inverse de inverse van de getransponeerde.

10. Als A een vierkante matrix is, dan zijn de eigenwaardes gelijk aan de eigenwaardes van zijn getransponeerde.

Matrices met bijzondere eigenschappen onder transpositie

Een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde wordt een symmetrische matrix genoemd; dat wil zeggen dat A symmetrisch is als geldt

$\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}\,$

Een vierkante matrix wiens getransponeerde ook zijn inverse is, wordt een orthogonale matrix genoemd; dat wil zeggen dat G orthogonaal is als geldt

$\mathbf{G G}^\mathrm{T} = \mathbf{G}^\mathrm{T} \mathbf{G} = \mathbf{I}_n , \,$   de eenheidsmatrix, dat wil zeggen G^T = G^-1. In dit geval zijn de kolommen van de matrix orthonormaal.

Een vierkante matrix die gelijk is aan minus zijn getransponeerde matrix, wordt scheef-symmetrisch genoemd; dat wil zeggen dat A scheef-symmetrisch wanneer geldt

$\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\mathbf{A}\,$

De geconjugeerde getransponeerde matrix van de complexe matrix A, geschreven als A^*, wordt verkregen door de getransponeerde te nemen van A en de complex geconjugeerde van elk matrixelement:

$\mathbf{A}^* = (\overline{\mathbf{A}})^{\mathrm{T}} = \overline{(\mathbf{A}^{\mathrm{T}})}$

waarbij de streep de complex geconjugeerde aanduidt.