Spoor (lineaire algebra)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het spoor (naar het Duitse Spur, in het Engels later vertaald door trace), aangeduid door sp of tr, van de vierkante matrix A de som van de elementen van de hoofddiagonaal van A.

\mathrm{sp}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} = \sum_{i=1}^{n} a_{i i} ,

waarin a_{ij} het element in de i-de rij en j-de kolom van A is.

Eigenschappen[bewerken]

dus ook
    • \mathrm{sp}(ABC) = \mathrm{sp}(CAB) = \mathrm{sp}(BCA)
    • \mathrm{sp}(P^{-1}AP)=\mathrm{sp}((PP^{-1})A)=\mathrm{sp}(A)
  • Bovenstaand verband kan bij reële of complexe matrices ook uitgedrukt worden aan de hand van de exponentiële functie. Voor de definitie van de exponentiële functie op vierkante matrices kan een machtreeks gebruikt worden, of anders de abstracte exponentiële functie uit de theorie van de Lie-algebras.
\det(\exp A)=\exp{\mathrm{sp} A}

De Lie-groep SL(n,\mathbb{R}) bestaat uit de reële n×n-matrices met determinant 1. De overeenkomstige Lie-algebra bestaat uit alle reële n×n-matrices met spoor 0.

Voorbeeld[bewerken]


A = 
\begin{pmatrix}
   3 & 0 & 1\\
   0 & 4 & 4\\
   0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\Rightarrow \mbox{sp}(A) = 3 + 4 + 0 = 7.
\,\!

De eigenwaarden van deze matrix zijn de reële getallen 3, 2+2√2 en 2–2√2 met als som 7.

Verband met eigenwaarden[bewerken]

Het spoor is een gelijksoortigheidsinvariant, wat wil zeggen dat voor iedere omkeerbare n×n-matrix B geldt:

\mathrm{sp}\ A=\mathrm{sp}(B^{-1}AB)

Als A een symmetrische matrix is, dan bestaat er een matrix B die de gegeven matrix diagonaliseert; dat wil zeggen B^{-1}AB is een diagonaalmatrix. Hieruit volgt voor dergelijke matrices opnieuw dat het spoor gelijk is aan de som van de eigenwaarden.