Gelijksoortige matrices

In de lineaire algebra worden twee n×n-matrices A en B over het veld (NL: lichaam) K gelijksoortig genoemd (Engels: similar) als er een inverteerbare n×n-matrix P over K bestaat, zodat geldt:

$B =P^{-1} A P$

Gelijksoortigheid van matrices is een equivalentierelatie, want:

• (Reflexiviteit) Elke matrix is equivalent met zichzelf; kies voor P de geschikte eenheidsmatrix.
• (Symmetrie) Als A equivalent met B, is ook B equivalent met A, want P is inverteerbaar, dus $A = PBP^{-1}=(P^{-1})^{-1}BP^{-1}$
• (Transiviteit) Als A equivalent met B en B equivalent met C, geldt: $B=P^{-1}AP$ en $C=Q^{-1}BQ$, zodat $C=(PQ)^{-1}A(PQ)$, en dus is ook A equivalent met C.

De bijbehorende equivalentieklassen worden gelijksoortigheidsklassen genoemd.

Eigenschappen

Gelijksoortige matrices delen vele eigenschappen. Ze hebben dezelfde:

• rang
• determinant
• spoor
• eigenwaarden, (de eigenvectoren zullen in het algemeen verschillen)
• karakteristieke veelterm
• minimale polynoom (een van de invarianten van de Smith-normaalvorm)
• elementaire delers

Er zijn twee belangrijke redenen voor deze feiten:

• Twee gelijksoortige matrices kunnen worden gezien als een beschrijving van dezelfde lineaire afbeelding, maar uitgaand van een verschillende bases
• De afbeelding X $\mapsto$ P^–1XP is een automorfisme op de associatieve algebra van alle n×n-matrices.

Voor een gegeven matrix A wordt daarom een simpele "normaalvorm" B gezocht die gelijksoortig is met A, zodat eigenschappen van A onderzocht kunnen worden aan de eenvoudigere matrix B. Zo wordt A een Diagonaliseerbare matrix genoemd als A gelijksoortig is aan een diagonaalmatrix. Niet alle matrices zijn diagonaliseerbaar; over de complexe getallen echter (of over een willekeurig algebraïsch gesloten) lichaam, is elke matrix gelijksoortig met een matrix in Jordan-normaalvorm. Een andere normaalvorm, de Frobenius-normaalvorm, bestaat voor elk lichaam. Door de Jordan- of Frobenius-normaalvormen van A en B te beschouwen, kan men onmiddellijk beslissen of A en B gelijksoortig zijn. Ook de Smith-normaalvorm kan worden gebruikt om te bepalen of matrices gelijksoortig zijn, hoewel in tegenstelling tot de Jordan- en de Frobenius-normaalvormen, een matrix niet noodzakelijkerwijs gelijksoortig hoeft te zijn aan zijn Smith-normaalvorm.

Opmerkingen

Gelijksoortigheid van matrices hangt niet af van het lichaam. Twee matrices A en B over het lichaam K zijn gelijksoortig dan en slechts dan als ze gelijksoortig zijn ten aanzien van een deellichaam van K. Men kan het lichaam K veilig uitbreiden, bijvoorbeeld om het algebraïsch af te sluiten en de Jordan-normaalvormen berekenen over het uitgebreide lichaam en aan de hand daarvan bepalen of de matrices gelijksoortig zijn. Deze aanpak kan worden gebruikt om bijvoorbeeld aan te tonen dat elke matrix gelijksoortig is aan zijn getransponeerde matrix. In de definitie van gelijksoortigheid zijn A en B permutatie-gelijksoortig, wanneer de matrix P een permutatiematrix is. A en B zijn unitair equivalent, wanneer de matrix P een unitaire matrix is. De spectraalstelling zegt dat elke normale matrix unitair equivalent is met een bepaalde diagonaalmatrix.

Toepassingen

• In de bio-informatica, worden gelijksoortige matrices gebruikt voor sequentie-alignering
• In de toegepaste wiskunde, worden gelijksoortige matrices gebruikt om functies van matrices, zoals exponenten en machten van matrices te berekenen.

Andere gebieden

In de groepentheorie wordt gelijksoortigheid conjugatie genoemd.

Zie ook

• Gelijkvormige matrices
• Equivalente matrices
• Kanonieke vorm