Gesloten (algebra)

In de algebra kan gesloten zijn betrekking hebben op ten eerste een bewerking of op ten tweede een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch), een groep of een ring. Algebraïsch volledig wordt soms als synoniem voor algebraïsch gesloten gebruikt.

Een bewerking op twee elementen, die element zijn van hetzelfde lichaam, dezelfde groep of van dezelfde ring, zoals de vermenigvuldiging van twee getallen, heet gesloten wanneer de uitkomst van die bewerking zelf ook weer een element is van dat lichaam, die groep of die ring.

Een lichaam K heet gesloten, wanneer ieder polynoom met coëfficiënten in K een nulpunt heeft in K. Dat betekent, dat ieder polynoom van de n-de graad, n>1, in één variabele x, met coëfficiënten in K, is te ontbinden als een product van n verschillen $(x-a_i), 1 \leq i \leq n$ en een constante $\,a_0$, $\,a_0$ en alle $\,a_i$ zijn element van K.

Hierna gaat het alleen over deze tweede betekenis.

Polynoomringen

Zelfs in het algemene (niet noodzakelijk gesloten) geval vormen de polynomen in één variabele x met coëfficiënten in K een associatieve algebra over K en tegelijkertijd een commutatieve ring met eenheidselement 1. Deze ring heeft geen nuldelers (gehele ring). Noteer K[X].

Een irreducibel polynoom is polynoom, waarvan de graad n groter is dan 0 en dat niet deelbaar is door een ander polynoom, waarvan de graad kleiner is dan n, maar ook weer groter dan 0. Een polynoom van de eerste graad is per definitie irreducibel. Als een polynoom een nulpunt heeft in het getal a $\in$ K, dan is dat polynoom deelbaar door x-a

Een lichaam is gesloten dan en slechts dan als alle polynomen in K[x], die irreducibel zijn, de vorm $\,a_{0}x-a_1$ hebben. $\,a_0$ en $a_1\in K$.

Uitbreidingen van een lichaam

Als K niet gesloten is en f(x) is een irreducibel polynoom van de graad n>1, dan kan K altijd worden uitgebreid tot een groter lichaam L zodat f(x) een nulpunt heeft in L. L is het lichaam K, waaraan het element x is toegevoegd, noteer L=K(x).

Voorbeelden

Het lichaam $\mathbb{C}$ der complexe getallen is algebraïsch gesloten; dit is de hoofdstelling van de algebra.

Het lichaam $\mathbb{R}$ der reële getallen is niet algebraïsch gesloten. $x^2+1$ heeft geen reële nulpunten. De complexe getallen vormen de kleinst mogelijke uitbreiding van de reële getallen waarin $x^2+1$ ontbonden kan worden.

Het lichaam $\mathbb{Q}$ der rationale getallen is zelfs in hoge mate onvolledig. $x^2-2$ is in $\mathbb{Q}$ irreducibel, de vierkantswortel van 2 is geen breuk. De kleinste uitbreiding van $\mathbb{Q}$ waarin $x^2-2$ is te ontbinden, noteert men met $\mathbb{Q}(\sqrt2)$. Dit lichaam is nog steeds niet gesloten, maar $x^2-2$ kan er wel in worden ontbonden als $(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$.

Het lichaam $\mathbb{A}$ der algebraïsche getallen is de kleinste uitbreiding van $\mathbb{Q}$, waarin alle polynomen met coëfficienten in $\mathbb{Q}$ zijn te ontbinden. $\mathbb{A}$ is algebraïsch gesloten. $\mathbb{A}$ is een deellichaam van $\mathbb{C}$, maar kleiner dan $\mathbb{C}$.

Referentie

• (en) Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4