Permutatiematrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de lineaire algebra, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiematrix een vierkante matrix, die in iedere rij en in iedere kolom één waarde 1 heeft en waar alle andere waarden in diezelfde rijen en kolommen gelijk zijn aan 0. Een permutatiematrix is dus behalve een vierkante ook een binaire matrix. Een permutatiematrix ontstaat door de rijen of door de kolommen van een eenheidsmatrix te permuteren.

Iedere -permutatiematrix vermenigvuldigd met een m-vector stelt een specifieke permutatie van de elementen van voor. Indien met een andere matrix wordt vermenigvuldigd permuteert de rijen of de kolommen van de andere matrix produceren. De eenheidsmatrix is ook een permutatiematrix, maar dat is evident. Het product van twee willekeurige permutatiematrices is opnieuw een permutatiematrix. Iedere permutatiematrix is een orthogonale matrix, dus is de inverse matrix van een permutatiematrix de getransponeerde matrix van .

Twee matrices en worden gelijksoortige matrices genoemd, wanneer er een permutatiematrix is, zodat .

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Gegeven een permutatie van elementen,

De bijbehorende permutatiematrix is

De invoerwaarden van zijn allemaal gelijk zijn 0, behalve dat in rij de waarde gelijk is aan 1.

is dus voor iedere een rijvector van lengte met een 1 op de -de plaats en een 0 op alle andere plaatsen.

De gegeven permutatie wordt ook geschreven als

Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]

Gegeven twee permutaties en van elementen en de corresponderende permutatiematrices en . Dan geldt voor de functiecompositie van de twee permutaties dat

Aangezien permutatiematrices orthogonale matrices zijn, bestaat de inverse matrix ervan en kan deze worden geschreven als

vermenigvuldigen met de kolomvector permuteert de rijen van :

vermenigvuldigen van een rijvector permuteert de kolommen van :

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

Definieer de permutatiematrix

Gegeven een vector , dan is

waarin de elementen van zijn gepermuteerd.

wordt in dit geval ook geschreven als