Orthogonale matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een orthogonale matrix is in de lineaire algebra een reële vierkante matrix waarvan de kolommen een orthonormaal stelsel vormen. Dat houdt in dat de kolommen onderling orthogonaal zijn en als vector de lengte 1 hebben. Een andere manier van karakteriseren is dat de getransponeerde van de matrix gelijk is aan de inverse. Het overeenkomstige begrip voor complexe matrices is een unitaire matrix.

Orthogonale matrices als afbeelding gezien op een euclidische ruimte behouden de oorsprong en afstanden en hoeken. Ze komen dus overeen met draaiingen, spiegelingen en combinaties daarvan.

Definitie[bewerken]

Een vierkante matrix A heet orthogonaal als de kolommen een orthonormaal stelsel vormen, dus als

A^T A = I

Hiermee equivalent is dat A inverteerbaar is en de inverse gelijk is aan de getransponeerde van A , dus als:

A^{-1} = A^T

Van een orthogonale matrix zijn ook de rijen orthonormaal:

A A^T = I

Eigenschappen[bewerken]

  • De determinant van een orthogonale matrix A is gelijk aan +1 of –1. Er geldt immers:
1=\det(I)=\det(A^\top A)=\det(A^\top)\det(A)=(\det(A))^2.
  • Het product van twee orthogonale matrices A en B is weer orthogonaal, immers:
(AB)^\top AB=B^\top A^\top AB = B^\top I B =B^\top B = I.
  • Orthogonale matrices bewaren het inproduct, dat wil zeggen als A orthogonaal is, geldt:
\langle Av,Aw\rangle =\langle v,A^\top A w\rangle=\langle v, w\rangle .
De afbeeldingen x \mapsto Ax+b representeren dus isometrieën, want
\|Ax+b-Ay-b\|^2=\|A(x-y)\|^2=\langle A(x-y),A(x-y)\rangle =\langle x-y,x-y\rangle=\|x-y\|^2.
  • Voor de eigenwaarde \lambda met bijbehorende eigenvector x van een orthogonale matrix A geldt:
\langle x,x \rangle =\langle Ax,Ax \rangle =\langle \lambda x,\lambda x \rangle=\lambda^2\langle x, x \rangle, dus \lambda^2=1