Orthogonale matrix

Een orthogonale matrix is in de lineaire algebra een vierkante matrix waarvan de kolommen een orthonormaal stelsel vormen. Dat houdt in dat de kolommen onderling orthogonaal zijn en als vector de lengte 1 hebben. Een andere manier van karakteriseren is dat de getransponeerde van de matrix gelijk is aan de inverse.

Definitie

Een vierkante matrix A heet orthogonaal als de kolommen een orthonormaal stelsel vormen, dus als

$A^T A = I \,$

Hiermee equivalent is dat A inverteerbaar is en de inverse van A gelijk is aan de getransponeerde van A , dus als:

$A^{-1} = A^T \,$

Van een orthogonale matrix zijn ook de rijen orthonormaal:

$A A^T = I \,$

Eigenschappen

1. De rijen van een orthogonale matrix vormen een orthonormaal stelsel vectoren.
2. De kolommen van een orthogonale matrix vormen een orthonormaal stelsel vectoren.
3. De determinant van een orthogonale matrix is gelijk aan +1 of -1.
4. Het product van twee orthogonale matrices is weer orthogonaal.
5. Een orthogonale matrix is diagonaliseerbaar.
6. Orthogonale matrices bewaren het inproduct, d.w.z. als A orthogonaal is, geldt: <Av,Aw> = <v,w>. De afbeeldingen Ax + b representeren dus een isometrie.
7. De inverse van een orthogonale matrix is gelijk aan zijn getransponeerde.