Determinant

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is de determinant van een vierkante matrix een speciaal getal dat kan worden berekend uit de elementen van die matrix. Indien de matrix als een lineaire transformatie wordt gezien, is de fundamentele meetkundige betekenis van een determinant, die van een schaalfactor of coëfficiënt voor maten. Een 2×2-matrix met determinant 2 zal, als deze wordt toegepast op een verzameling punten met een eindige oppervlakte, deze punten transformeren naar een verzameling punten die 2 keer zo groot is als de oorspronkelijke oppervlakte.

De determinant van een matrix is gelijk aan het product van de (eventueel complexe) eigenwaarden van die matrix.

De determinant van een matrix A wordt aangeduid door \det(A), of zonder haakjes als \det A , of ook door |A|. Deze laatste notatie wordt ook gebruikt in gevallen waarin de matrixelementen in hun geheel worden geschreven, door rond de matrix twee verticale strepen te zetten, in plaats van de gebruikelijke arrayhaken.

 \begin{vmatrix} a & b\\c & d \end{vmatrix} staat bijvoorbeeld voor de determinant van de 2×2-matrix  \begin{bmatrix}a&b\\
c&d\end{bmatrix}.

Behalve in de lineaire algebra zijn determinanten belangrijk in de differentiaal- en integraalrekening, waar zij een rol spelen in de substitutieregels bij de overgang tussen verschillende coördinatenstelsels.

Een lineaire transformatie op R2 gegeven door de aangegeven matrix. De determinant van deze matrix is -1, aangezien de oppervlakte van de groene parallellogram aan de rechterkant gelijk is aan 1, maar de afbeelding draait de oriëntatie om, aangezien het de draaiing van de vectoren tegen de klok in verandert in een draaiing met de klok mee.

Definitie[bewerken]

De determinant van een vierkante matrix A is een getal, dat afhangt van de elementen van A. Als de vierkante matrix gegeven is door:


A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{bmatrix}.

met als elementen reële of complexe getallen, dan wordt de determinant van A aangeduid door det(A) of door

\begin{vmatrix}  a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{vmatrix}.

De definitie van de determinant zal eerst voor 2×2-matrices en 3×3-matrices worden gegeven, gevallen waarvoor de formule expliciet kan worden uitgeschreven. De definitie voor grotere matrices is een generalisatie van deze twee gevallen.

2x2-matrix[bewerken]

De 2×2-matrix


  A=\begin{pmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{pmatrix}

heeft als determinant:

 \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc .

3x3-matrix[bewerken]

regel van Sarrus: hoofddiagonalen - nevendiagonalen

Voor de 3×3-matrix


  A=\begin{pmatrix}
    a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
    a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
    a_{31}&a_{32}&a_{33}
  \end{pmatrix}

is de determinant

\det(A) = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}& a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} =
=\,a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}.

Deze methode heet de regel van Sarrus. De regel van Sarrus geldt niet voor matrices groter dan 3x3.

In een 3x3-matrix kan de determinant worden opgevat als het georiënteerde volume van het parallellepipedum gevormd door de vectoren in de matrix.

Algemene formule[bewerken]

De notatie |A| voor determinant van A schept soms verwarring met een andere matrixfunctie, nl. |A|=\sqrt{AA^*}.

De determinant van de n×n-matrix A wordt gegeven door de volgende formule van Leibniz, genoemd naar de Duitse wiskundige Gottfried Leibniz.


  \det(A)
  = \sum_{\sigma \in S_n} \left(
    \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}
  \right)

De som loopt over alle permutaties σ van de getallen 1, 2, ..., n, en sgn(σ) stelt het teken van de permutatie voor, nl. +1, als σ een even permutatie is en -1 als σ oneven is. Voor 3×3-matrices wordt dit de berekening volgens de regel van Sarrus, die staat boven.

Voor de berekening van determinanten met n > 3 is de methode van Leibniz al snel onhandelbaar.

Eigenschappen[bewerken]

Getransponeerde[bewerken]

Een matrix en zijn getransponeerde hebben dezelfde determinant:

\det(A^T) = \det(A).\!

Verwisselen van rijen of van kolommen[bewerken]

Bij het verwisselen van twee rijen of van twee kolommen wisselt de determinant van teken.

Scalaire vermenigvuldiging[bewerken]

Bij het vermenigvuldigen van een rij of van een kolom met een getal c, wordt ook de determinant met c vermenigvuldigd.

Vermenigvuldigt men de n×n-matrix A met een scalair c, dan wordt de determinant met n factoren c vermenigvuldigd:

\det(cA) = c^n \det(A).\!

Productregel[bewerken]

De determinant is een multiplicatieve afbeelding in de zin dat voor n×n-matrices A en B geldt:

\det(AB) = \det(A)\det(B)\!

Omdat de determinant een getal is, geldt ook:

\det(AB) = \det(BA).\!

Dit spreekt niet voor zich, omdat bij matrixvermenigvuldiging de volgorde van vermenigvuldiging van belang is. AB is niet zonder meer BA, en in de meeste gevallen zelfs ongelijk.

Inverse[bewerken]

Voor een inverteerbare matrix A geldt:

\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}.\!

Machtsverheffing[bewerken]

Uit de productregel volgt direct dat de determinant van de k-de macht van een matrix gelijk is aan k-de macht van de determinant van de oorspronkelijke matrix:

\det(A^k) = (\det(A))^k.\,

Ontwikkeling naar rij of kolom[bewerken]

Om de determinant van een matrix te berekenen wordt meestal de methode van Laplace gebruikt. De determinant van een n×n-matrix wordt daarbij uitgedrukt in de determinanten van deelmatrices met afmetingen (n-1)×(n-1). De methode wordt "ontwikkeling naar een rij of kolom" genoemd.

De ontwikkeling naar de i-de rij is:

 \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{i,j}
  \begin{vmatrix}
    a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n} \\
    a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,j-1} & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots  &  \ddots & \vdots  \\
    a_{i-1,1} & a_{i-1,2} & \cdots  & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\
    a_{i+1,1} & a_{i+1,2} & \cdots  & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots  &  \ddots & \vdots  \\
    a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n}
  \end{vmatrix}

De ontwikkeling naar de j-de kolom is:

 \det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{i,j}
  \begin{vmatrix}
    a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n} \\
    a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,j-1} & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots  &  \ddots & \vdots  \\
    a_{i-1,1} & a_{i-1,2} & \cdots  & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\
    a_{i+1,1} & a_{i+1,2} & \cdots  & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots  &  \ddots & \vdots  \\
    a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n}
  \end{vmatrix}

De ontwikkeling houdt in dat de determinant opgebouwd wordt uit de producten met bijbehorend teken van de elementen van een rij of kolom, vermenigvuldigd met de bijbehorende determinant die gevormd wordt door in de oorspronkelijke determinant de rij en kolom die bij het element hoort weg te laten.

De berekening van de determinant wordt zo teruggebracht tot de berekekening van determinanten van 1 dimensie lager. Ieder van deze gereduceerde matrices heet een minor van de oorspronkelijke matrix A.

Wanneer tenslotte A=a_{i,j}, met afmeting 1×1, geldt det(A)=a_{i,j}.

Eigenschappen met betrekking tot het uitrekenen[bewerken]

Er zijn een aantal eigenschappen van determinanten die bijzonder van belang zijn bij het uitrekenen van een determinant van een bepaalde matrix.

'Veeg'-operaties[bewerken]

Een determinant kan 'geveegd' worden zoals een matrix ook geveegd kan worden met de Gauss-Jordanmethode. Deze methode wordt ook de spilmethode genoemd. De determinant verandert namelijk niet als een veelvoud van een rij wordt opgeteld of afgetrokken bij of van een andere rij. Dit is een belangrijke eigenschap, want als een matrix door te vegen terug is te brengen tot een diagonaalvorm, is de determinant uit te rekenen door simpelweg de getallen op de diagonaal te vermenigvuldigen.

Driehoeksmatrix[bewerken]

Als een matrix een driehoeksmatrix is, dan is de determinant het product van de getallen op de diagonaal. Met diagonaal wordt de hoofddiagonaal van linksboven naar rechtsonder bedoeld. Er zijn twee soorten driehoeksmatrices: een bovendriehoeksmatrix (alle getallen linksbeneden de diagonaal zijn 0) en een benedendriehoeksmatrix (alle getallen rechtsboven de diagonaal zijn 0). Bij diagonaalmatrices zijn alle getallen behalve die op de diagonaal 0 en is de determinant ook het product van de getallen op de diagonaal.


   \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
    0 & a_{22} & a_{23} \\
    0 & 0 & a_{33}
  \end{vmatrix} 
   = a_{11} a_{22} a_{33}

  \begin{vmatrix}
    a_{11} & 0 & 0 \\
    a_{21} & a_{22} & 0 \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
  \end{vmatrix} 
   = a_{11} a_{22} a_{33}

Gelijke rijen of kolommen[bewerken]

Als twee rijen (of kolommen, zie hierboven) gelijk zijn, is de determinant 0.

Nulrij of kolom[bewerken]

Als een rij in een matrix alleen maar het getal 0 bevat, dan is de determinant van de hele matrix 0. Omdat de determinant van de getransponeerde matrix gelijk is aan de niet-getransponeerde matrix geldt deze eigenschap ook voor kolommen.


   \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
    0 & 0 & 0 \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
  \end{vmatrix} 
   = 0

Eenheidsmatrix[bewerken]

De eenheidsmatrix is een speciaal geval van een diagonaalmatrix waarbij alle getallen op de diagonaal 1 zijn (en, omdat het een diagonaalmatrix is, de andere getallen allemaal 0). De determinant van de eenheidsmatrix is daarom 1.

Samengestelde determinanten[bewerken]

De determinant van een (n+m)×(n+m)-matrix M, die wordt gevormd door de n×n-matrix A linksboven en m×m-matrix B rechtsonder, is het product van de determinanten van A en van B.

 \det(M) = \begin{vmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{vmatrix} = \det(A) * \det(B).

Eén van de twee, of de matrix linksonder, of de matrix rechtsboven, mag nog ongelijk 0 zijn.

Gebruik[bewerken]

Het kwadraat van de determinant van de matrix A is gelijk aan het kwadraat van de inhoud van de ruimte opgespannen door de vectoren in A. Wanneer A uit maar één vector bestaat is het het kwadraat van de lengte van die vector, wanneer A uit twee vectoren bestaat, het kwadraat van de oppervlakte opgespannen door beide vectoren.

I^2 (A) = {\det}^2 (A)

Determinanten worden gebruikt bij de berekening van de inverse van inverteerbare matrices met behulp van de regel van Cramer en bij het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen.

De karakteristieke polynoom van een matrix wordt gegeven door de volgende determinant p(\lambda) = \det(A-\lambda I) \,.

De wortels van dit polynoom zijn de eigenwaarden \lambda_i van A. De constante van dit polynoom, dus het product van de eigenwaarden van A, is de determinant van A.

Voor het vastleggen van een oriëntatie in een Euclidische ruimte, wordt het teken gebruikt van de determinant van de matrix met als kolommen de basisvectoren van die ruimte. De determinant van een verzameling vectoren is positief als de vectoren een rechtshandig coördinatensysteem vormen, en negatief voor een linkshandig.

Geschiedenis[bewerken]

Historisch gezien werden determinanten los van matrices bestudeerd. Oorspronkelijk was een determinant gedefinieerd als een eigenschap van een stelsel lineaire vergelijkingen. De determinant bepaalt (determineert, vandaar de naam) of het stelsel een eenduidige oplossing heeft. Dit is het geval als het (vierkante) stelsel een determinant ongelijk aan 0 heeft. In die zin werden determinanten voor het eerst gebruikt in het Chinese wiskundehandboek, De negen hoofdstukken van de wiskundige kunst (九章算术, Chinese geleerden, rond de 3e eeuw v.Chr.). In Europa werden 2×2-stelsels door Cardano tegen het einde van de 16e eeuw en grotere stelsels door Leibniz zo'n honderd jaar later bestudeerd. In Japan bestudeerde Seki aan het eind van de 18e eeuw determinanten.[1][2]

In Japan werden determinanten geïntroduceerd om de eliminatie van variabelen in hogere orde systemen van algebraïsche vergelijkingen te bestuderen. Men gebruikte de determinant als korte wijze van uitdrukking voor de resultante. Na het eerste werk van Seki in 1683, werd de formule van Laplace gegeven door twee onafhankelijke groepen van Japanse wiskundigen: Tanaka, Iseki (算法発挥, Sampo-Hakki, gepubliceerd in 1690) en Seki, Takebe, Takebe (大成算経, Taisei-Sankei, geschreven vóór 1710). Recentelijk zijn er echter twijfels gerezen in hoeverre deze Japanse wiskundigen de determinant als een zelfstandig object herkenden.

In Europa leverde Cramer (1750) een belangrijke bijdrage aan de theorie van de determinanten, toen hij het onderwerp in relatie met verzamelingen van vergelijkingen behandelde. De recurrente wet werd in 1764 voor het eerst aangekondigd door Bézout.

Het was Vandermonde (1771) die determinanten voor het eerst als onafhankelijke functies behandelde.[1] Laplace (1772) [3][4] gaf de algemene methode om determinanten uit te breiden in termen van haar complementaire minoren: Vandermonde had reeds een speciaal geval gegeven. Onmiddellijk daarop behandelde Lagrange (1773) determinanten van de tweede en derde orde. Lagrange was de eerste die determinanten toepaste om vragen uit de eliminatietheorie te beantwoorden; hij bewees vele bijzondere gevallen van algemene identiteiten.

Gauss (1801) zette de volgende stap. Net als Lagrange maakte hij veel gebruik van determinanten in de getaltheorie. Hij introduceerde het woord determinanten (Laplace had het woord resultante gebruikt), hoewel niet in de huidige betekenis van het woord, maar veeleer als toegepast op de discriminant van een homogene veelterm. Gauss kwam ook met de notie van reciproque (inverse) determinanten en kwam dicht in de buurt van de vermenigvuldigingsstelling.

De volgende belangrijke bijdrage kwam van Binet (1811, 1812), die formeel de stelling met betrekking tot het product van twee matrices van m kolommen en n rijen, die voor het speciale geval van m=n reduceert tot de vermenigvuldigingsstelling, presenteerde. Op dezelfde dag (30 november 1812), dat Binet zijn artikel aan de Academie presenteerde, besprak Cauchy zijn artikel over dit onderwerp (zie formule van Cauchy-Binet). In zijn werk gebruikte Cauchy het woord determinant in haar huidige betekenis,[5][6] vatte hij samen en vereenvoudigde hij wat toen bekend was over het onderwerp, verbeterde hij de notatie, en gaf hij de vermenigvuldigingsstelling met een bewijs, dat bevredigender was dan het bewijs van Binet.[1][7] Met Cauchy begint de determinantentheorie in zijn algemeenheid.

De volgende belangrijke persoon was Jacobi[2] (vanaf 1827). Hij was een vroege gebruiker van de functionele determinant die Sylvester later de Jacobiaan noemde en in zijn memoires in Crelle's Journal in 1841 behandelde hij speciaal dit onderwerp, alsmede de klasse van alternerende functies die Sylvester later de alternanten heeft genoemd. Omstreeks de tijd van Jacobi's laatste memoires, begonnen Sylvester (1839) en Cayley hun werk.[8][9].

De studie van speciale vormen van determinanten is het natuurlijke gevolg van de voltooiing van de algemene theorie. Axiaalsymmetrische determinanten zijn bestudeerd door Lebesgue, Hesse, en Sylvester; persymmetrische determinanten door Sylvester en Hankel, circulanten door Catalan, Spottiswoode, Glaisher en Scott; scheve determinanten en Pfaffianen, in verband met de theorie van de orthogonale transformatie door Cayley; continuanten door Sylvester; Wronskianen (zogenoemd door Muir) door Christoffel en Frobenius; samengestelde determinanten door Sylvester, Reiss en Picquet; Jacobianen en Hessianen door Sylvester, en symmetrische linker determinanten door Trudi. Van de tekst-boeken over het onderwerp was Spottiswoode de eerste. In de Verenigde Staten publiceerden Hanus (1886), Weld (1893), en Muir/Metzler (1933) verhandelingen.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. a b c Campbell, H: "Linear Algebra With Applications", pag 111-112
  2. a b Eves, H: "An Introduction to the History of Mathematics", pag 405, 493–494, Saunders College Publishing, 1990.
  3. Uitbreiding van de determinanten in termen van minoren: Laplace, Pierre-Simon (de) "Onderzoeken sur le calcul integral et sur le système du monde," Histoire de l'Académie Royale des Sciences (Parijs), tweede deel, pagina's 267-376 (1772).
  4. Muir, Sir Thomas,, The Theory of Determinants in the Historical Order of Development [Londen, Engeland: Macmillan and Co, Ltd, 1906].
  5. Het eerste gebruik van het woord "determinant" in moderne zin verscheen in: Cauchy, Augustin-Louis "Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux égales valeurs et des signes contraires par suite des transpositions operées entre les variabelen qu'elles renferment," die voor het eerst in Parijs op 30 november 1812 aan het Instituut de France werd voorgelezen, en die vervolgens werd gepubliceerd in de Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 17, tome 10, pagina's 29-112 (1815).
  6. Origine van wiskundige termen: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
  7. Geschiedenis van matrices en determinanten: Matrices and determinants
  8. Het eerste gebruik van verticale lijnen om een determinant aan te duiden verscheen in: Cayley, Arthur, "On a theorem in the geometry of position," Cambridge Mathematical Journal, vol. 2, pagina's 267-271 (1841).
  9. De notatie van matrices: Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors