Lineaire transformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lineaire transformatie een lineaire afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf.

Ondubbelzinnig vastleggen van een lineaire transformatie[bewerken]

Een lineaire transformatie T:V\to V van een n-dimensionale vectorruimte V wordt ondubbelzinnig vastgelegd door de beelden T(b_1), \ldots ,T(b_n) van een geordende basis  \{b_1, \ldots ,b_n\} \sub V. Een willekeurige vector x=\sum_{i=1}^n \xi_i b_i \in V wordt dan afgebeeld op:

y=T\left(\sum_{i=1}^n \xi_i b_i\right)=\sum_{i=1}^n \xi_i T(b_i) .

Was men uitgegaan van een andere geordende basis  \{b'_1, \ldots ,b'_n\} \sub V, dan wordt de vector x=\sum_{i=1}^n \xi'_i b'_i afgebeeld op:

y'=T\left(\sum_{i=1}^n \xi'_i b'_i\right)=\sum_{i=1}^n \xi'_i T(b'_i) .

Deze beelden zijn dezelfde, want de eerstgenoemde basis kan uitgedrukt worden in de tweede:

b_i=\sum_{j=1}^n B_{ij} b'_j.

en ook is:

x=\sum_{j=1}^n \xi'_j b'_j =\sum_{i=1}^n \xi_i b_i =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n B_{ij} b'_j =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i B_{ij} b'_j ,

dus:

\xi'_j =\sum_{i=1}^n \xi_i B_{ij},

zodat:

y'=\sum_{j=1}^n \xi'_j T(b'_j) =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i B_{ij} T(b'_j) =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n B_{ij} T(b'_j) =\sum_{i=1}^n \xi_i T\left(\sum_{j=1}^n B_{ij} b'_j\right) =\sum_{i=1}^n \xi_i T\left(b_i\right) =y.

Matrix van een lineaire transformatie[bewerken]

Door de keuze van een geordende basis  \{b_1, \ldots ,b_n\} \sub V wordt een vector x \in V bepaald door de coördinaten  \xi_1, \ldots ,\xi_n ten opzichte van deze basis:

x=\sum_{i=1}^n \xi_i b_i .

De lineaire transformatie T wordt bepaald door de beelden van de basisvectoren:

T(b_i)=\sum_{j=1}^n t_{ij} b_j.

De transformatie T wordt dus vastgelegd door de getallen (de matrix) (t_{ij}).

Het beeld T(x) van x onder T heeft de coördinaten  \eta_1, \ldots ,\eta_n:

T(x)=\sum_{i=1}^n \eta_i b_i .

Er geldt dus:

\sum_{j=1}^n \eta_j b_j =T(x)=T\left(\sum_{i=1}^n \xi_i b_i\right)=\sum_{i=1}^n \xi_i T(b_i) =\sum_{i=1}^n \xi_i \sum_{j=1}^n t_{ij}b_j =\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \xi_i t_{ij}b_j,

zodat:

\eta_j=\sum_{i=1}^n \xi_i t_{ij}.

Dit komt neer op de matrixvermenigvuldiging van de kolomvector \xi=[\xi_1, \ldots ,\xi_n]^\top van de de coördinaten van x met de matrix \Tau =(t_{ij})^\top, met als resultaat de kolomvector \eta=[\eta_1, \ldots ,\eta_n]^\top van de coördinaten van T(x):

\eta = \Tau \xi.

Uitgeschreven ziet dat er zo uit:

 
\begin{bmatrix}
 \eta_{1}  \\
\eta_{2}  \\
 \vdots  \\
 \eta_{n} 
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
 \tau_{11} & \tau_{12} & \cdots & \tau_{1n} \\
 \tau_{21} & \tau_{22} & \cdots & \tau_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \tau_{n1} & \tau_{m2} & \cdots & \tau_{nn}
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
 \xi_{1}  \\
 \xi_{2}  \\
 \vdots  \\
 \xi_{n} 
 \end{bmatrix}
,

waarin \tau_{ij} =t_{ji}. De matrix \!\;\Tau die de transformatie T representeert, heeft dus als kolommen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren.

Voorbeeld[bewerken]

De lineaire transformatie T van de vectorruimte \R^2 beeldt de basisvectoren (1,0) en (0,1) af op de vectoren (3,2) en (5,4). Daarmee is T geheel vastgelegd. De matrix van T is dan

 
\begin{bmatrix}
 3 & 5 \\
 2 & 4  
 \end{bmatrix}
.

Het beeld van bijvoorbeeld de vector (-1,5) heeft dan de coordinaten:


\begin{bmatrix}
 3 & 5 \\
 2 & 4  
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
 -1  \\
 5  
\end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
 22  \\
 18 
\end{bmatrix}
.

Dus is T(-1,5)=22(1,0)+18(0,1)=(22,18).

Determinant, rang en nulruimte[bewerken]

Een lineaire transformatie kan bijectief zijn. In dat geval wordt het domein afgebeeld op zichzelf en is de transformatie inverteerbaar. De determinant van de matrix van de transformatie is dan ongelijk 0 en de matrix heeft volle rang, wat onder andere inhoudt dat de kolommen onderling onafhankelijk zijn.

Als de transformatie niet inverteerbaar is, is de determinant van de matrix gelijk aan 0. De rang van de matrix is dan kleiner dan de dimensie van de ruimte, dus zijn de kolommen niet onderling onafhankelijk. De beelden van de basisvectoren brengen dan een deelruimte voort van geringere dimensie. Er is een deelruimte, de nulruimte of kern van de transformatie, die op de nulvector wordt afgebeeld.

Lineaire transformaties van het vlak[bewerken]

Lineaire transformaties van de \R^2, kunnen beschreven worden door een 2x2-matrix A. Kiest men de eenheidsvectoren als basis dan zijn de kolommen van A, als vector gezien, de beelden van de eenheidsvectoren. Enkele voorbeelden:

De identiteit[bewerken]

Ieder punt wordt op zichzelf afgebeeld.

A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.

Rotatie[bewerken]

Een rotatie van 90° tegen de klok in:

A=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}

Een rotatie over een hoek \theta tegen de klok in:

A=\begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}.

Spiegeling[bewerken]

Spiegeling om de x-as:

A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}.

Schaling[bewerken]

Een homothetie met factor 2:

A=\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix}.

Een schaling met een factor r in de horizontale richting en een factor s in de verticale richting:

A=\begin{bmatrix}r & 0 \\ 0 & s\end{bmatrix}.

Afschuiving[bewerken]

Horizontale afschuiving:

A=\begin{bmatrix}1 & m\\ 0 & 1\end{bmatrix}.

Samendrukking[bewerken]

Horizontaal uitrekken en verticaal samendrukken (met factor k > 1):

A=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & 1/k\end{bmatrix}.

Projectie[bewerken]

Projectie op de y-as:

A=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}

Bewerkingen met lineaire transformaties[bewerken]

Som van twee lineaire transformaties[bewerken]

Als T_1 en T_2 lineaire transformaties zijn van een vectorruimte V, is hun som T_1+T_2, die gedefinieerd is door

 \forall v \in V : (T_1+T_2)(v) = T_1(v) + T_2(v) ,

ook een lineaire transformatie van V. Ten opzichte van een basis van V is de matrix A van T_1+T_2 gelijk aan de som A_1+A_2 van de matrices A_1 en A_2 van respectievelijk T_1 en T_2:

A=A_1+A_2.

Product van een lineaire transformatie met een reëel getal[bewerken]

Als T_1 een lineaire transformaties is van een vectorruimte V en en \alpha een reëel getal, dan is het scalaire product \alpha T_1, dat gedefinieerd is door

 \forall v \in V : (\alpha T_1)(v) = \alpha (T_1(v)),

ook een lineaire transformatie van V. Ten opzichte van een basis van V is de matrix A van \alpha T_1 gelijk aan het scalaire product \alpha A_1 van \alpha en de matrix A_1 van T_1:

A=\alpha A_1.

Samenstelling van lineaire transformaties[bewerken]

Als T_1 en T_2 lineaire transformaties zijn van een vectorruimte V, dan hun [[samenstelling\\ T_1\circ T_2, die gedefinieerd is door

 \forall v \in V : (T_1\circ T_2)(v) = T_1(T_2(v)) ,

ook een lineaire transformatie van V. Ten opzichte van een basis van V is de matrix A van T_1\circ T_2 gelijk aan het matrixproduct A_1A_2 van de matrices A_1 en A_2 van respectievelijk T_1 en T_2:

A=A_1A_2.

Eigenwaarden en eigenvectoren van een lineaire transformatie[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Eigenwaarde (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Onder de bijectieve transformaties van een lineaire ruimte V zijn er die een deelruimte D \sub V op zichzelf afbeelden. Als D eendimensionaal is, heet elke vector d\in D, d\neq 0 een eigenvector van de transformatie. De eigenvector d wordt afgebeeld op een veelvoud \lambda d van d. De factor \lambda heet eigenwaarde van de transformatie.

Eigenschappen[bewerken]

  • De verzameling van de eigenvectoren van een lineaire transformatie T die behoren tot dezelfde eigenwaarde, vormen samen met de nulvector een deelruimte van de vectorruimte V. Die ruimte heet de eigenruimte behorend bij de eigenwaarde.
  • Als een lineaire transformatie van een n-dimensionale ruimte, n verschillende eigenwaarden heeft, vormen de eigenvectoren corresponderend met die eigenwaarden een basis van V.
  • Als er in een vectorruimte een basis is bestaande uit eigenvectoren, dan is de matrix van die lineaire transformatie, ten opzichte van die basis, een diagonaalmatrix.

Lineaire permutaties[bewerken]

Als een lineaire transformatie t van een vectorruimte V een basis van V transformeert in een basis van V, dan spreekt men van een lineaire permutatie van V. Onder invloed van t worden verschillende vectoren afgebeeld op verschillende vectoren en lineair onafhankelijke vectoren op lineair onafhankelijke vectoren. De matrix A van een lineaire permutatie is regulier en de kern bestaat enkel uit de nulvector.
De verzameling van alle lineaire permutaties van V vormen een groep, de algemene lineaire groep van een vectorruimte V. Gewoonlijk wordt die groep genoteerd als GL(V).