Algemene lineaire groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is de algemene lineaire groep van de orde n over een lichaam (Ned) / veld (Be) K, aangeduid door \mathrm{GL} (n,K) of  \mathrm{GL}_n (K) , de groep bestaande uit de verzameling van inverteerbare n×n-matrices met elementen in K, met als groepsoperatie de gewone matrixvermenigvuldiging. Doordat het product van twee inverteerbare matrices opnieuw inverteerbaar is en de inverse van een inverteerbare matrix is ook weer inverteerbaar, is dit inderdaad een groep. De groep heet lineair vanwege de lineaire onafhankelijkheid van de kolommen van inverteerbare matrices. Daardoor zijn de vectoren die zij definiëren, in algemene ligging, en de matrices in de algemene lineaire groep beelden punten in algemene ligging af op punten ook in algemene ligging.

Generaliserend is de algemene lineaire groep over een vectorruimte V, genoteerd als \mathrm{GL} (V) of ook \mathrm{Aut} (V) de abstracte automorfismegroep van V, die niet noodzakelijkerwijs als matrices worden beschreven.

De speciale lineaire groep, geschreven als \mathrm{SL} (n,K) of  \mathrm{SL}_n (K) , is de ondergroep van \mathrm{GL} (n,K) bestaande uit matrices met determinant gelijk aan 1.

De groepen \mathrm{GL} (n,K) en hun ondergroepen worden vaak lineaire groepen of matrixgroepen genoemd (de abstracte groep \mathrm{GL} (K) is een lineaire groep, maar geen matrixgroep). Deze groepen spelen een rol in de theorie van de groepsrepresentaties, en de studie van de ruimtelijke symmetrieën en symmetrieën van vectorruimten in het algemeen, evenals in de studie van veeltermen. De modulaire groep kan worden gerealiseerd als een quotiëntgroep van de speciale lineaire groep \mathrm{SL} (2,\Z).

Voor waarden n\ge 2 is de groep \mathrm{GL} (n,K) niet abels.

Voetnoten[bewerken]