Algemene lineaire groep

In de wiskunde is de algemene lineaire groep van graad n de verzameling van n×n inverteerbare matrices samen met de operatie van gewone matrixvermenigvuldiging. Dit vormt een groep, omdat het product van twee inverteerbare matrices opnieuw inverteerbaar is, en de inverse van een inverteerbare matrix is ook weer inverteerbaar. De naam lineair komt omdat de kolommen van een inverteerbare matrix lineair onafhankelijk zijn, vandaar dat de vectoren/punten die zij definiëren in een algemene lineaire positie zijn, en de matrices in de algemene lineaire groep punten innemen in een algemene lineaire positie op punten in een algemeen lineaire positie.

Als we preciezer willen zijn is het noodzakelijk exact te specificeren wat voor soort wiskundige objecten mogen voorkomen in de ingevoerde waarden van de matrix. De algemene lineaire groep over R (de verzameling van reële getallen) is bijvoorbeeld de groep van n×n inverteerbaar matrices van reële getallen, en wordt aangeduid met GL_n(R) of GL(n,R). De afkorting GL komt van de afkorting van de Engelse benaming "general linear group" voor "algemene lineaire groep"

Meer in het algemeen is de algemene lineaire groep van graad n over enig veld F (zoals de complexe getallen), of een ring R (zoals de ring van de gehele getallen), is de verzameling van n×n inverteerbare matrices met invoerwaarden van F (of R), opnieuw met matrixvermenigvuldiging als de groepsbewerking. Typische notatie is GL_n(F) of GL(n, F), of simpelweg GL(n) als het veld verondersteld wordt bekend te zijn.

Meer algemener nog, is de algemene lineaire groep van een vectorruimte GL(V) is de abstracte automorfismegroep, die niet noodzakelijkerwijs als matrices worden beschreven.

De speciale lineaire groep, geschreven als SL(n, F) of als SL_n(F), is de ondergroep van GL(n, F) bestaande uit matrices met determinant = 1.

De groep GL(n, F) en haar ondergroepen worden vaak lineaire groepen of matrixgroepen genoemd (het abstracte groep GL(V) is een lineaire groep, maar niet een matrix-groep). Deze groepen zijn belangrijk in de theorie van de groepsrepresentaties, en kunnen zich ook voordoen in de studie van de ruimtelijke symmetrieën en symmetrieën van vectorruimten in het algemeen, evenals in de studie van veeltermen. De modulaire groep kan worden gerealiseerd als een quotiënt van de speciale lineaire groep SL(2, Z).

Als n ≥ 2, dan is de groep GL(n, F) geen abelse groep.