Operatie (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de simpelste vorm van zijn betekenis staat de term bewerking (operatie) in de wiskunde en de logica voor een actie of procedure, die uit één of meer invoerwaarden (operanden) een nieuwe waarde produceert. Er zijn twee veel voorkomende types: bewerkingen met één invoerwaarde en bewerkingen met twee invoerwaarden (unaire resp. binaire operaties). Unaire operaties zijn operaties op slechts één operand. Voorbeelden zijn ontkenning en de goniometrische functies. Binaire operaties werken met twee operanden. voorbeelden van binaire operaties zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen.

Operaties kunnen behalve op getallen ook uitgevoerd worden op wiskundige objecten. De logische waardes waar en onwaar kunnen door logische operaties, zoals en, of, en niet gecombineerd worden. Vectoren kunnen worden opgeteld en afgetrokken. Rotaties kunnen gecombineerd worden met behulp van samengestelde relatie operaties, die de eerste- en de tweede rotatie in een bepaalde volgorde uitvoeren. De operaties op verzamelingen omvatten onder andere vereniging en doorsnede, maar ook de unaire operatie van het complement van een verzameling. Operaties op functies zijn bijvoorbeeld compositie en convolutie.

Niet voor elke waarde van een operand kan een operatie worden gedefinieerd. In de reële getallen kan men bijvoorbeeld niet delen door nul of wortels trekken uit negatieve getallen. De waardes waarvoor een operatie is gedefinieerd vormen een verzameling die het domein wordt genoemd. De verzameling die de resultaten bevat wordt het codomein genoemd, terwijl de verzameling van werkelijke waarden die zijn verkregen door het uitvoeren van de operatie het bereik vormen. In de reële getallen resulteert de operatie kwadrateren bijvoorbeeld alleen in niet-negatieve getallen. Het codomein is in dit geval echter de verzameling van reële getallen, terwijl het bereik zich beperkt tot de niet-negatieve getallen.

Operaties kunnen betrekking hebben op ongelijksoortige objecten. Een vector kan worden vermenigvuldigd met een scalair om als resultaat een andere vector te vormen. En de inproduct operatie op twee vectoren resulteert daarentegen weer in een scalair. Een operatie kan al of niet bepaalde eigenschappen, zoals bijvoorbeeld associativiteit, commutativiteit, anticommutativiteit en idempotentie bezitten.

De waarden die gecombineerd worden worden operanden, argumenten, of inputparameters genoemd, de geproduceerde waarde wordt de waarde, het resultaat, of de outputparameter. Operaties kunnen betrekking hebben op één of meer operanden.

Een operatie lijkt op een operator, het gezichtspunt is echter anders. Wanneer men uitgaat van de operanden en het resultaat spreekt men van de "optellings operatie", maar wanneer men op het proces, of vanuit een meer abstract gezichtspunt op een functie: +: S×S → S, focust heeft men het over de "optel operator".

Algemene definitie[bewerken]

Een operatie ω is een functie van de vorm ω : X1 × … × XkY. De verzamelingen Xj worden de domeinen van de operatie genoemd, de verzameling Y wordt het codomein van de operatie genoemd, en de vaste niet-negatieve integer k (het aantal van de argumenen) wordt het type of ariteit van de operatie genoemd. Een unaire operatie heeft dus ariteit één en een binaire operatie heeft ariteit twee. Een operatie met ariteit nul wordt een nullaire operatie genoemd, is simpelweg een element van codomein Y. Een operatie van ariteit k wordt een k-aire operatie genoemd. Een k-aire operatie is dus een (k+1)-aire relatie, die functioneel is op zijn eerste k domeinen.

Dit wordt vaak een finitaire operatie, waar finitair refereert aan het eindige aantal argumenten (de waarde k) in een operatie. Wanneer de ariteit gelijk is aan een oneindige ordinaal of cardinaal, of zelfs een willekeurige verzameling die de argumenten indexeert, zullen er complicaties optreden.

Vaak impliceert het gebruik van de term operatie dat het domein van een functie een macht is van het codomein,[1], hoewel dit lang niet altijd het geval is).

Zie ook[bewerken]

Speciale gevallen[bewerken]

Gerelateerde onderwerpen[bewerken]

Noot
  1. Zie bijv. definities 1.1 in: S. N. Burris en H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra (Een cursus in universele algebra) , Springer, 1981. [1]