Doorsnede (verzamelingenleer)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Doorsnede van verzameling A en B (overlapping van de twee cirkels)

In de verzamelingenleer is de doorsnede, of intersectie van een aantal verzamelingen de verzameling die bestaat uit de gemeenschappelijke elementen van de samenstellende verzamelingen. De doorsnede van de verzamelingen A en B wordt genoteerd als A \cap B .

Als twee verzamelingen een lege doorsnede hebben, noemt men ze disjunct. Als ze een niet-lege doorsnede hebben, wordt soms gezegd dat ze elkaar snijden.

Definitie[bewerken]

De doorsnede A \cap B van de verzamelingen A en B is de verzameling die bestaat uit de elementen die zowel tot A als tot B behoren:

x \in A \cap B \iff x \in A \and x \in B

Voorbeelden[bewerken]

De doorsnede van de verzamelingen {1, 2, 3} en {2, 3, 4} is de verzameling {2, 3}.

Het getal 9 is geen element van de doorsnede van de verzameling priemgetallen {2, 3, 5, 7, 11, ...} en de verzameling oneven getallen {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}.

Generalisatie[bewerken]

Door recursie kan ook de doorsnede van eindig veel verzamelingen gedefinieerd worden. De doorsnede van A, B, C, en D, bijvoorbeeld, is

A \cap B \cap C \cap D = A \cap (B \cap (C \cap D))

Meer algemeen bestaat de doorsnede van willekeurig veel verzamelingen uit die elementen die in elk van deze verzamelingen zitten.

Eigenschappen[bewerken]

Doorsnede is een associatieve en commutatieve operatie;, dus:

A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C = A \cap B \cap C

en

A \cap B = B \cap A

Zie ook[bewerken]