Disjuncte verzamelingen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, zegt men van twee verzamelingen dat deze disjunct zijn, als zij geen elementen met elkaar gemeen hebben. Bij uitbreidingen noemt men een groep van meer dan twee verzamelingen disjunct, als elk tweetal disjunct is.

De verzamelingen {1, 2, 3} en {4, 5, 6} zijn bijvoorbeeld disjuncte verzamelingen.

De doorsnede van twee disjuncte verzamelingen is de lege verzameling.

Definitie[bewerken]

Formeel gezien zijn twee verzamelingen A and B disjunct als geen enkel element, \epsilon \, zowel voorkomt in verzameling A als in verzameling B

\neg \exists \epsilon:\epsilon \in A \and \epsilon \in B.

In dat geval is de doorsnede van de twee verzamelingen A en B leeg

A\cap B = \varnothing. \,

Deze definitie is uitbreidbaar naar elke collectie van verzamelingen. Een collectie van verzamelingen is paarsgewijs disjunct of wederzijds disjunct als enige twee onderscheiden verzamelingen in de collectie disjunct zijn.

Formeel uitgedrukt, laat I een indexverzameling zijn, en voor elke i in I, laat Ai een verzameling zijn. Dan is de familie van verzamelingen {Ai : iI} paarsgewijs disjunct voor enige i en j in I met ij

A_i \cap A_j = \varnothing.\,

De collectie van verzamelingen { {1}, {2}, {3}, ... } is bijvoorbeeld paarsgewijs disjunct. Als {Ai} een paarsgewijze disjuncte collectie is die ten minste twee verzamelingen bevat, dan is de doorsnede duidelijk leeg:

\bigcap_{i\in I} A_i = \varnothing.\,

Het tegengestelde is echter niet waar: de doorsnede van de collectie {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} is leeg, maar de collectie is niet paarsgewijs disjunct - er komen in deze collectie geen twee disjuncte verzamelingen voor.

Een partitie van een verzameling X is enige collectie van niet-lege deelverzamelingen {Ai : iI} van X zodat {Ai} paarsgewijs disjunct zijn en geldt dat

\bigcup_{i\in I} A_i = X.\,

Referenties[bewerken]

Zie ook[bewerken]