Kardinaliteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de kardinaliteit van een verzameling een maat voor het "aantal elementen in een verzameling". De verzameling A = {2, 4, 6} bevat bijvoorbeeld drie elementen, en daarom heeft de verzameling A een kardinaliteit van 3. Het gaat echter om een algemener begrip "aantal", aangezien kardinaliteiten ook zijn gedefinieerd voor oneindige verzamelingen. De kardinaliteit van een verzameling A wordt aangeduid met |A|, met een verticale streep aan elke kant; dit is dezelfde notatie als die voor absolute waarde. De betekenis is afhankelijk van de context. Soms wordt ook wel de notatie #A gebruikt.

Er zijn twee manieren om het begrip kardinaliteit te benaderen — in de ene benadering vergelijkt men verzamelingen rechtstreeks door gebruik te maken van bijecties en injecties, in de andere maakt men gebruik van kardinaalgetallen.

Twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze een-op-een op elkaar kunnen worden afgebeeld, dat wil zeggen dat we aan elk element van de ene verzameling één en niet meer dan één element van de andere verzameling toevoegen, en vice versa (zie ook bijectieve functies). Deze verzamelingen worden dan gelijkmachtig of equipotent genoemd.

Vergelijken van verzamelingen[bewerken]

Geval 1: |A| = |B|[bewerken]
Twee verzamelingen A en B hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie bestaat, dat wil zeggen een injectieve- en surjectieve functie van A op B.
De verzameling E = {0, 2, 4, 6, ...} van niet-negatieve even getallen heeft bijvoorbeeld dezelfde kardinaliteit als de verzameling \scriptstyle\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, ...} van natuurlijke getallen, aangezien de functie f(n) = 2n een bijectie is van \scriptstyle\mathbb{N} op E.
Geval 2: |A| ≥ |B|[bewerken]
A heeft een kardinaliteit groter dan of gelijk aan de kardinaliteit van B als er een injectieve functie van B op A bestaat.
Geval 3: |A| > |B|[bewerken]
A heeft een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van B als er injectieve functie, maar geen bijectieve functie, van B op A bestaat.
De verzameling van \scriptstyle\mathbb{R} van alle reële getallen heeft bijvoorbeeld een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinalieit van de verzameling \scriptstyle\mathbb{N} van alle natuurlijke getallen, omdat de inclusiemap \scriptstyle{i : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}} injectief is, maar het kan worden aangetoond dat er geen bijectieve functie van \scriptstyle\mathbb{N} op \scriptstyle\mathbb{R} bestaat.

Kardinaalgetallen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Kardinaalgetal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De relatie dat twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben wordt gelijkmachtigheid genoemd; gelijkmachtigheid is een equivalentierelatie op de klasse van alle verzamelingen. De equivalentieklasse van een verzameling A bestaat onder deze relatie uit al die verzamelingen die dezelfde kardinaliteit als A hebben. Er zijn twee manieren om de "kardinaliteit van een verzameling" te definiëren:

  1. De kardinaliteit van een verzameling A wordt gedefinieerd als haar equivalentieklasse onder gelijkmachtigheid.
  2. Er wordt voor elke equivalentieklasse een representatieve verzameling aangewezen.

De kardinaliteiten van de oneindige verzamelingen worden aangeduid door

\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots .

Voor elke ordinaal α, is \scriptstyle{\aleph_{\alpha+1}} het kleinste kardinaalgetal groter dan \scriptstyle{\aleph_\alpha}.

Eindige verzameling[bewerken]

Van een eindige verzameling is de kardinaliteit het aantal elementen in de verzameling; ook omgekeerd geldt: als de kardinaliteit van een verzameling een natuurlijk getal is, is die verzameling eindig. En twee eindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze hetzelfde aantal elementen hebben.

Oneindige verzameling[bewerken]

Een oneindige verzameling heeft altijd een hogere kardinaliteit dan een eindige (dat wil zeggen, we kunnen elk element van de eindige verzameling op één element van de oneindige verzameling afbeelden, maar omgekeerd kan dat niet). De laagste oneindige kardinaliteit is die van de natuurlijke getallen; deze kardinaliteit wordt \scriptstyle{\aleph_0} (alef-nul) genoemd. Verzamelingen met deze kardinaliteit heten aftelbaar oneindig. Het diagonaalbewijs van Cantor toont aan dat er ook hogere kardinaliteiten bestaan; deze worden ook met een alef-getal aangegeven: \scriptstyle{\aleph_0,\, \aleph_1,\, \aleph_2,\, \ldots,\, \aleph_\omega,\, \ldots}.

Kardinaliteit van het continuüm[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Kardinaliteit van het continuüm voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een van Cantors belangrijkste resultaten was dat het kardinaliteit van het continuüm (c of \mathfrak{c}) groter is dan de kardinaliteit van de natuurlijke getallen (\scriptstyle{\aleph_0}); dat wil zeggen dat er meer reële getallen \scriptstyle\mathbb{R} dan natuurlijke getallen \scriptstyle\mathbb{N} bestaan. Cantor toonde aan dat

\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > {\aleph_0}
(zie Diagonaalbewijs van Cantor).

De continuümhypothese stelt dat er geen kardinaalgetal bestaat tussen de kardinaliteit van de reële getallen en de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, dat wil zeggen

\mathfrak{c} = \aleph_1 = \beth_1
(zie Beet-getal).

De continuümhypothese kan binnen het algemeen aanvaarde Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, tenminste indien deze axiomatische verzamelingenleer consistent is, noch worden bewezen noch worden verworpen.

Informatica[bewerken]

In de informatica slaat kardinaliteit doorgaans op relaties tussen tabellen of associaties tussen klassen/objecten. Dan is dit het aantal keer dat een relatie/associatie voor kan/mag komen. Dit kan bijvoorbeeld zijn: 0 of meer, 1 of meer, 1, 2, 100, 1 tot 20.

Zie ook[bewerken]