Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer, vernoemd naar de wiskundigen Ernst Zermelo en Abraham Fraenkel en vaak afgekort tot ZF, een van de verschillende axiomatische systemen, die in het begin van de twintigste eeuw werden voorgesteld om een verzamelingenleer te formuleren, zonder de paradoxen van de naïeve verzamelingenleer, zoals de paradox van Russell. Specifiek staat ZF geen onbeperkt begrijpen toe. Vandaag de dag is de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer met keuzeaxioma (afgekort tot ZFC, waarbij de C voor het Engelse Choice staat) de standaardvorm van de axiomatische verzamelingenleer en als zodanig het meest gebruikelijke fundament van de wiskunde.

Geschiedenis[bewerken]

In 1908 stelde Ernst Zermelo de eerste axiomatische verzamelingenleer voor, de Zermelo-verzamelingenleer. Deze axiomatische theorie stond de constructie van ordinaalgetallen echter niet toe. Hoewel de meeste "gewone wiskunde" kan worden ontwikkeld zonder ooit gebruik te maken van ordinaalgetallen, zijn ordinaalgetallen een essentieel instrument in de meeste verzameling-theoretische onderzoeken. Bovendien was een van Zermelo's axioma's gebaseerd op en concept, dat van een "definiete" eigenschap, waarvan de operationele betekenis niet duidelijk was. In 1922 stelden Abraham Fraenkel en Thoralf Skolem onafhankelijk van elkaar een operationalisering van deze "definiete" eigenschap voor als één die zou kunnen worden geformuleerd als een eerste orde theorie, waarvan de atomaire formules werden gelimiteerd tot lidmaatschap van de verzameling en identiteit. Zij stelden ook onafhankelijk van elkaar voor om het axioma-schema van de specificatie te vervangen door het axioma-schema van vervanging. Dit schema werd, evenals het axioma van regulariteit (voor het eerst in 1917 voorgesteld door Dimitry Mirimanoff), toegevoegd aan de Zermelo-verzamelingenleer. Dit levert de theorie op die wordt aangeduid met ZF. Door het keuzeaxioma (AC) of een formulering die daaraan gelijkwaardig is toe te voegen aan ZF levert dit ZFC op.