Absolute waarde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
y=abs(x)

Onder absolute waarde of modulus van een reëel getal of andere grootheid verstaat men in het algemeen de lengte of grootte daarvan, daarmee afziend van andere eigenschappen, zoals teken of richting. Ook kan men zeggen dat met de absolute waarde wordt aangegeven hoe ver dat reële getal van nul afligt.

In de wiskunde noteert men een absolute waarde door het argument tussen twee verticale strepen te zetten: |x|\!

Reële getallen[bewerken]

De absolute waarde van een reëel getal x, aangegeven door |x|, of ook door abs(x), is x zelf als x een positief getal is en -x als x een negatief getal is. De absolute waarde is dus altijd positief (of 0). Om precies te zijn:

|x|=
\begin{cases}
-x & \mbox{als  } x < 0 \\
 x & \mbox{als  } x \ge 0 
\end{cases}

Eigenschappen[bewerken]

  • |x.y| = |x|.|y|\!
  • |x+y|\leq |x| + |y|
  • ||x|-|y|| \leq |x+y|

Voorbeelden[bewerken]

  • |5| = abs(5) = 5
  • |-2| = abs(-2) = 2

Met behulp van de absolute waarde kunnen we schrijven:

\sqrt{x^2}=|x|

Dit berust op het feit dat de vierkantswortel gedefinieerd is als een positief getal.

De definitie voor reële getallen laat zich uitbreiden naar complexe getallen.

Complexe getallen[bewerken]

De absolute waarde of modulus van een complex getal z, aangegeven door |z| of ook door abs(z), is gedefinieerd als:

|z| =  \sqrt{\mathrm{Re}(z)^2 + \mathrm{Im}(z)^2} = \sqrt{z \overline{z}}.

Hierbij is \overline{z} de notatie voor de complex geconjugeerde van z.

De waarde |z| kan worden gevisualiseerd als de lengte van de "vector z" in het complexe vlak. Deze wordt berekend met de stelling van Pythagoras.

Generalisatie[bewerken]

Ook voor sommige vectoren is de absolute waarde gedefinieerd. In het algemeen verstaan we daaronder de norm van de vector.